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Similitude Directe

Posté par
aua 04-02-24 à 20:29

Bonjour, j ai un probleme pour comprendre une regle que jai vu.
Dans le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct ABCD de centre O tel que AB = 3 a et
BC = a 3 ; où a est un réel strictement positif donné.
E est le point du segment \left[ BD\right]   tel que BE=\frac{3}{4}BD.

s est la simulitude directe de centre \Omega telle que s(B)=O et
s(E)=C.

On a Angle oriente(B,O)=  Angle oriente(E,C)= (BE,BC)=(OE,OC)
est ce toujours vrai

Edit Tilk_11 > Balises Latex ajoutées

Posté par
lakere : Similitude Directe 04-02-24 à 21:49

Bonsoir,

Les triangles  \Omega BE et \Omega OC sont donc directement semblables d'où :
(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega E})=(\overrightarrow{\Omega O},\overrightarrow{\Omega C})
Ensuite avec Chasles, tout est possible.

Posté par
lakere : Similitude Directe 04-02-24 à 22:20

A dire vrai, seule la première égalité est "toujours vraie".
Pour le reste, cela dépend des circonstances.
En l'occurrence, il faudrait préciser ce que tu entends par :

  

Citation :
AB = 3 a et BC = a 3 ; où a est un réel strictement positif donné.

Ce n'est pas clair.

Posté par
auare : Similitude Directe 04-02-24 à 22:26

Désolé c'est une erreur de frappe c'est a racine carre de 3

Posté par
auare : Similitude Directe 04-02-24 à 22:28

également BCO est un triangle equilatéral

Posté par
lakere : Similitude Directe 04-02-24 à 23:11

Il y a des chose qui ne vont pas.
Il est clair que l'angle de cette similitude directe vaut  (\overrightarrow{BE},\overrightarrow{OC})=-\dfrac{2\pi}{3}\,\,[2\pi]
Voici une figure où est construit le centre \Omega de cette similitude directe via des "arcs capables" de cet angle.
Similitude Directe

Citation :
On a Angle oriente(B,O)=  Angle oriente(E,C)= (BE,BC)=(OE,OC)

(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BC})\not= -\dfrac{2\pi}{3}\,\,[2\pi]

Posté par
lakere : Similitude Directe 04-02-24 à 23:31

Il est possible qu'au lieu de (\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BC}) il faille lire (\overrightarrow{BE},\overrightarrow{{\red O}C}) ???

Posté par
lakere : Similitude Directe 04-02-24 à 23:37

Non seulement "possible" mais quasiment certain.
A toi de nous le confirmer

Posté par
auare : Similitude Directe 05-02-24 à 00:01

Je suis de votre avis parce que même moi je peinait a comprendre comment cela était l possible: il ont certainement du faire une erreur de frappe

Posté par
auare : Similitude Directe 05-02-24 à 00:04

Avec votre schéma c'est parfaitement claire en plus
Merci

Posté par
lakere : Similitude Directe 05-02-24 à 00:17

Si tel est le cas, tout va bien.
Avec s(B)=O, s(E)=C où s a pour centre \Omega, modulo 2\pi, l'angle de cette similitude directe vaut :

\theta =(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega O})=(\overrightarrow{\Omega E},\overrightarrow{\Omega C})=-\dfrac{2\pi}{3}\,\,[2\pi]

Pour la première égalité, avec Chasles :

(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega E})=\underbrace{(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega O})}_{\theta}+(\overrightarrow{\Omega O},\overrightarrow{\Omega E})+\underbrace{(\overrightarrow{\Omega C},\overrightarrow{\Omega E})}_{-\theta}\,\,[2\pi]

Pour les deux dernières égalités, tu devrais t'en sortir avec ce qui a été écrit

Posté par
lakere : Similitude Directe 05-02-24 à 00:20

Zut !

Citation :
(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega E})=\underbrace{(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega O})}_{\theta}+(\overrightarrow{\Omega O},\overrightarrow{\Omega {\red C}})+\underbrace{(\overrightarrow{\Omega C},\overrightarrow{\Omega E})}_{-\theta}\,\,[2\pi]

Posté par
lakere : Similitude Directe 05-02-24 à 00:25

Re zut !
En fait ce que j'ai écrit n'est pas demandé mais tout le reste (ou peu s'en faut) y est ici :

Citation :
\theta =(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega O})=(\overrightarrow{\Omega E},\overrightarrow{\Omega C})=-\dfrac{2\pi}{3}\,\,[2\pi]

Désolé pour le cafouillage

Posté par
lakere : Similitude Directe 05-02-24 à 00:35

Pour me faire pardonner, des détails sur la figure :

Similitude Directe
Le cercle O\Omega B est le symétrique du cercle OBC par rapport à la droite (BD)
C'est à toi de comprendre

Posté par
lakere : Similitude Directe 05-02-24 à 15:05

Bonjour,
Au cas où tu repasses par ici :
Tu n'avais pas posté l'énoncé complet dont tu disposais mais j'imagine que ton exercice consistait à construire le centre \Omega de la similitude directe.
On peut, à titre d'exercice (calculatoire),  le reprendre via des calculs cartésiens dans un repère ad hoc (intersections de cercles) ou les complexes (écriture d'une similitude directe).
Pour information, on tombe sur :

  \overrightarrow{A\Omega}=\dfrac{29}{38}\,\overrightarrow{AB}+\dfrac{21}{38}\,\overrightarrow{AD}

Évidemment pas du tout dans l'esprit de ton exercice.


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