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Similitudes
Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice de similitudes. Merci d'avance.
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC=5 et mes(AB;AC)= -
/3. Soit E le milieu du segment [AB].
1-a) Construire le triangle ABC.
b) Démontrer qu'il existe une unique rotation r qui applique C sur B et A sur E.
c) Déterminer l'angle de la rotation r et construire son centre O.
2-Soit J le centre du cercle circonscrit au triangle OAE.
a)Démontrer qu'il existe une similitude directe s et une seule qui transforme C en E et A en J.
b)Démontrer que le triangle OAE est équilatéral.
c)Déterminer l'angle et le rapport de s.
d)Démontrer que le point O est le centre de la similitude directe s.
3- Soit 
un nombre réel non nul. M et M' sont les points du plan tels que: (vecteurs) AM= AC et EM'= EB.
a) Construire M et M' en prenant =-1/2.
b) Démontrer que M est le barycentre des points pondérés (A;-1) et (C;-).
c)Démontrer que r(M)=M'. En déduire la nature du triangle OMM'.
d)Démontrer que les points O,A,M et M' sont cocycliques.
4- Soit le point N image de M par s.
a)Démontrer que N est le centre du cercle circonscrit au triangle OMM'.
b)Déterminer l'ensemble des points N lorsque M décrit la droite (AC).
Bonjour,
même pas la 1a ???
point 4 de 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci obligatoire ...
Excusez moi problème de connexion.
J'ai commencé l'exercice.
1-a) Construction( je ne sais pas comment faire la figure ici sinon je l'ai fait)
1-b) Démontrons qu'il existe une unique rotation r
Soit A, B, C et E quatre points du plan tels que C≠A et B≠E
Il existe une unique rotation qui applique C sur B et A sur E.
1-c) Déterminons l'angle de la rotation r
mes CBA = π/6 car les angles BAC et CBA sont complémentaires avec mes BEH = π/3 avec H le projeté de E sur [BC]. mes OEA = π/3 car OEA et BEH sont opposés par le sommet. Comme OEA est un triangle isocèle qui possède un angle de π/3 par conséquent la rotation r qui transforme A en E et C en B a pour angle - π/3.
2) a- Démontrons qu'il existe une similitude direct s
Soit A, C, E et J quatre points du plan tels que : C≠A et J≠E.
Il existe une unique similitude directe, qui transforme C en E et A en J.
b- Démontrons que le triangle OAE est équilatéral
Les trois sommets du triangle OAE ont la même mesure par conséquent le triangle OAE est équilatéral
c- Déterminons l'angle et le rapport de s
OAE est un triangle équilatéral et J le centre de gravité. (OJ) est la bissectrice de l'angle de s.
L'ayngle de s est donc -π/6.
Soit k le rapport de s, on a : k= OJ/OA
Le triangle OH'A est rectangle en O. Donc OJ= √3/3 OA.
Par suite : k= √3/3
Je suis bloqué à la question 2)d
1b) faux
une rotation est une isométrie
tu dois donc démontrer que c'en est effectivement une et que ce n'est pas une translation ni une symétrie ... !
avant de prétendre que quels que soient 4 points donnés il existe une rotation qui transforme deux d'entre eux en les deux autres .
1c)
faux car on te donne un angle orienté mes(AB;AC)= -π/3, tu supprimes l'orientation en parlant de "l'angle CBA", et ensuite tu affirmes des trucs sans preuve :
"OEA = π/3 car OEA et BEH sont opposés par le sommet"
ah bon,? où en est la preuve ??
vu que pour l'instant on ne sait pas où est O !!
et tu termines par un signe de l'angle tiré au sort...
la rotation si elle existe transforme le vecteur en le vecteur
l'angle de la rotation est donc l'angle
qui se "calcule" (hum) directement
le centre de la rotation est tel que OA = OE et que OC = OB
2a) pas toujours ... il faut donc justifier explicitement que ce n'est pas autre chose ...
b- "Démontrons que le triangle OAE est équilatéral"
bein .. tu prétends l'avoir démontré question 1b vu que tu avais utilisée ça dans cette question là !
"Les trois sommets du triangle OAE ont la même mesure"
je ne sais pas ce que c'est que la mesure des sommets d'un triangle (un sommet est un point !!)
pour l'angle de la similitude éventuelle c'est l'angle orienté , à calculer directement en tant que angle orienté.
le centre de cette similitude : tu dois avoir une construction dans le cours... (comme "deuxième intersection de certains cercles ... liés à des "arcs capables")
k = EJ/AC
dans cette similitude O n'a pas son mot à dire vu que on ne sait rien du tout de O dans cette similitude tant que on ne l'a pas prouvé avant !!
ce qui sera l'objet de la question 2d justement !!
D'accord. Et donc pour la question 1-b je peux démontrer comme cela? : ABC est un triangle rectangle et E 
[AB] et la médiatrice de [AE] et de [BC] sont secantes en un point donc il existe une unique rotation r qui applique C sur B et A sur E.
oui, ça marche
si O est le centre d'une telle rotation OA = OE et donc O appartient à la médiatrice de [AE] et de même à la médiatrice de [BC}
il suffit donc de justifier que ces médiatrices sont sécantes
ce qui est immédiat car (AE) (= la droite (AB) !) et (BC) ne sont pas parallèles.
D'accord je comprends , pour la question 1.c d'après ce que vous avez dit
L'angle de r est l'angle (\vec{AC}; \vec{EB}) et comme d'après la figure \vec{EB}=\vec{AE} ,
l'angle (\vec{AC}; \vec{EB})=l'angle (\vec{AC}; \vec{AE})= -π/3 et on pourra construire le point O à l'aide des égalités : OA=OE et OC=OB
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