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Niveau école ingénieur
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Simple exercice sur le simplexe

Posté par
obiwankenobi
23-04-10 à 01:12

Bonjour à tous

J'ai un exercice à résoudre avec la méthode du simplexe le problème étant que je n'ai aucun cours dessus. J'ai essayé plusieurs choses que j'ai trouver sur internet sans grand succès...

Voila l'exercice : Un agriculteur dispose d'une superficie cultivable de 50 ha. Il peut écouler, au prix du marché, tous les produits qu'il obtient et qui sont essentiellement des tomates, des laitues et des radis. Les tomates se vendent 5 F le kg, la laitue se vend 3,5 F le pied et la livre de radis 2,5 F.
Les rendements moyens par ha sont respectivement de 2 tonnes, 4 000 pieds et 1 tonne, pour les tomates, la laitue et les radis.
Pour obtenir ces résultats, il faut employer des engrais à raison de100 kg/ha pour les tomates et pour les laitues et à raison de 50 kg/ha pour les radis. D'autre part, les travaux d'aménagement du sol, de semence et de récolte demandent l'emploi de dix hommes/jour par hectare pour les tomates, de six hommes/jour par hectare pour les radis et de vingt hommes/jour par hectare pour la laitue. Compte tenu des disponibilités locales en main-d'œuvre, le cultivateur ne peut employer que 400 hommes/jour.
L'engrais revient à 50 F le kg, le coût d'un homme/jour est de 350 F.

Si on pose h1,h2,h3 le nombre d'hectare de tomates, de radis, de laitues, je trouve que le système à résoudre est:

Z=1500h1+200h2+400h3
400=>10h1+20h2+6h3

Ca vous parait correcte ? Ai je fait une erreur d'interprétation qui explique que j'ai qu'une condition limite ?

Parce que dans ce cas Excel me dit que la solution optimale est 40 h1 et le reste 0. Si c'est bon comment retrouver ce résultat avec la méthode du simplexe ?

Merci à tous pour votre aide

Posté par
gggg1234
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 13:21

non je pense qu'il te manque des choses:

tu as une contrainte sur la superficie totale qui te dit:
h1+h2+h3<=50  (la somme des aires peut pas depasser la superficie totale)


ensuite oui tu as sur les travailleurs:
10h1+20h2+6h3<=400

mais il te manqie l'essentiel : la fonction a optimiser qui est le gain.
(la différence entre ce qu'iol gagne et ce qu'il doit depenser en engrais et en homme)

ce qu'il depense en engrais: [100 (h1+h3) + 50 h2 ]*50
ce qu'il paye en salaire: 350(10h1+20h2+6h3)
ce qu'il gagne en vente (en utilisant le rendement) : 2000*5 h1 + 4000*3,5 h3 + (faut mettre les tonnes en livre je sais pas faire !lol)

et donc le gain est :
z=GAIN-DEPENSE

qu'il faut optimiser.

Posté par
gggg1234
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 13:27

peut tu relire ton enoncé, il y a des erreur. je ne peux pas faire les calculs:
ex: tu mets qu'il y a 20h/j poour la laitue et que la variable laitue c'est  h3

or dans ta fonction on retrouve 20h2 ....bizarre.

Posté par
obiwankenobi
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 16:52

Merci pour tes réponses, effectivement j'ai zappé le début du problème et pour h1,h2,h3 cela correspond aux nombres d'hectares respectifs de tomates, laitues, radis. Si on appelle Z la quantité à optimiser on à alors

Z= 1500h1+200h2+400h3
400>=10h1+20h2+6h3
50>=h1+h2+h3

Mais après quelle méthode me conseiller vous ? A chaque fois que je trouve un exemple sur internet il n'y que 2 variables hors bases or là on en à trois.

(Une livre correspond à un demi kilo)

Posté par
gggg1234
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 17:35

Avec trois variables, tu peux encore faire un dessin en 3D, pour trouver la solution.

rappel: la solution optimal est (si solution il y a) un des sommets du polygone convexe de l'espace des solutions.

tu traces les 2 contraintes et fait "bouger" le plan a optimiser...

Sinon il faut derouler l'algo de dijstrka mais là j'aurai du mal à te l'expliquer. Le mieux est de regarder sur un tuto.

Posté par
gggg1234
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 17:38

On a oublié l'evidence:!!!


h1>=0
h2>=0
h3>=0

ca fait 3 conditions de plus !

deja tu vois si on prend ces trois conditions et la conditions h1+h2+h3<50

on trace ainsi en 3D, un polygone regulier qui contient les solutions.

Tu traces l'autres contraintes.

Puis tu trace la fonction a optimiser (qui est variable)
et tu regarde sur quel sommet du premier polygone elle est max.

Posté par
gggg1234
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 17:55

ou par le calcul (un peu rustique):
tu connais les 4 sommets du polygone (et leur coordonnées).
Tu calcule pour chaque point, la valeur de Z et tu garde le sommet qui optimise Z.

(si tu es pas dans un cas trop particulier, ca doit fonctionner).

Posté par
xtreboul
re : Simple exercice sur le simplexe 23-04-10 à 20:30

Salut!

Vas sur EXCEL

1)...."OUTILS"
2)... dans la liste tu choisis--->"SOLVEUR"

si dans "OUTILS" ya pas "SOLVEUR" tu regardes ds "macro complementaires"!

Avec le "SOLVEUR" (que j'appelle volontier le "SAUVEUR") tous les problemes de programmation lineaire (dont le simplex n'est qu'une methode de resolution) sont impitoyablement vaincus!

PS: le solveur traite aussi des problemes d'optimisation non lineaire!!!

Bonne chance!



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