Niveau autre

simplification

Posté par kamilia (invité) 07-04-05 à 01:33

salut à tous
voilà,j'ai un exo qui m'embête et que je n'arrive pas à le faire,j'ai besoin d'un tout petit coup de pouce SVP!

simplifier:
*ARCSIN[[(1+sinx)/2]]-/2
*ARCTAN[[(1-cosx)/(1+cosx)]]

autre chose:j'ai encore des problemes avec le latex!:-x je sais pas pourquoi ça marche pas avec moi:(
alors SVP une aide et merci.

Posté par re : simplification 07-04-05 à 03:08

Je me limite à l'intervalle $[-\frac \pi 2,\frac \pi 2]$
En effet $f$ est $2 \pi$ périodique et comme $\sin(\pi-x)=\sin x$ , la courbe représentative de $f$ admet l'axe $x=\frac \pi 2$ comme axe de symétrie.

$\frac {1+\sin x}2 = \frac {1 + \cos (\frac \pi 2 - x)} 2 = \cos^2(\frac {\frac \pi 2 - x}2)$

$\sqrt{\frac {1+\sin x}2} = \{ \array {cll$\cos(\frac \pi 4 - \frac x 2)=\sin(\frac \pi 2 -(\frac \pi 4 - \frac x 2)) = \sin(\frac \pi 4 + \frac x 2))& \hspace{20} {\rm si } \frac \pi 4 - \frac x 2 \in \[-\frac \pi 2 ,\frac { \pi} 2\]& \hspace{20} {\rm cad si } x \in \[-\frac \pi 2 ,\frac {3 \pi} 2\] \\ -\cos(\frac \pi 4 - \frac x 2) = -\sin(\frac \pi 4 + \frac x 2)) & \hspace{20} {\rm si } \frac \pi 4 - \frac x 2 \in \[-\pi ,-\frac \pi 2\]\cup \[\frac \pi 2 ,\pi \] & \hspace{20} {\rm cad si } x \in \[-\pi, -\frac \pi 2 \] \cup \[\frac {3 \pi} 2,\pi\] }$

${\rm si} x\in\[-\frac \pi 2,\frac \pi 2\]\hspace{20} \arcsin\sqrt{\frac {1+\sin x}2}-\frac \pi 2 = \frac x 2-\frac \pi 4$
${\rm si} x\in\[\frac \pi 2,\frac {3 \pi} 2 \]\hspace{20} \arcsin\sqrt{\frac {1+\sin x}2}-\frac \pi 2 =\arcsin\sqrt{\frac {1+\sin (\pi-x)}2}-\frac \pi 2 = \frac {\pi-x} 2-\frac \pi 4=\frac \pi 4 - \frac x 2 \hspace{100}{\rm car }\pi-x\in\[-\frac \pi 2,\frac \pi 2\]$
Le reste se déduit par périodicité de $f$

Posté par re : simplification 07-04-05 à 03:21

La fonction $g$ est $2 \pi$ périodique et paire. On l'étudie donc sur $\left[0 \pi\right[$ .

$\frac {1-\cos x}{1+\cos x}=\frac {2\sin^2$\frac x 2$}{2\cos^2$\frac x 2$}=\tan^2$\frac x 2$$

$\frac x 2 \in \left[0,\frac \pi 2\right[$ donc $\sqrt{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}=\tan$\frac x 2$\hspace{20}$ (la fonction tan est positive sur cet intervalle) ${\rm et }\hspace{20} \arctan$\sqrt{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}$ = \arctan\left(\tan$\frac x 2$ \right) =\frac x 2$

$g(x)=-\frac x 2 \;\;{\rm sur }\[-\frac \pi 2,0\]$ (du fait de la parité), le reste se déduit par périodicité.

Posté par kamilia (invité)re : simplification 08-04-05 à 00:54

bonjour franz
je te remercie infiniment pour ton aide
pour g ça marche bien mais pour f je trouve des difficultés à la comprendre
je serais très reconnaissante ,si tu peux m'expliquer un peu .

Posté par re : simplification 08-04-05 à 21:50

Voici quelques éléments de réflexion pour comprendre mon message

Il faut faire attention au fait que

d'une part $\sqrt{z^2}=|z|$

d'autre part $\arcsin : \; [-1,1] \; \to \[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\]$ ce qui veut dire que l'on a $\arcsin(\sin z) = z$ si et seulement si $z \in \[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\]$

Si $x \in \[\frac \pi 2, \frac {3 \pi} 2\]$ alors $\pi - x = z \in \[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\]$

Comme $\left{ \array{\sin(x)=\sin(\pi-x)=\sin(z) \\ \pi - x = z \in \[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\]}$ alors

$\forall x \in \[\frac \pi 2, \frac {3 \pi} 2\] \;\;\arcsin(sin x)=z = \pi - x$