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Simplification

Posté par Profil Ramanujan 26-02-19 à 22:52

Bonsoir,

Je bloque pour simplifier l'expression : (1+j)^n + (1+j^2)^n et l'exprimer en fonction de cos

Posté par
Glapion Moderateurre : Simplification 26-02-19 à 23:04

Bonsoir, je suppose que j = e2i/3 ?

et donc 1+j+j² = 0 tu peux donc remplacer 1+j par -j² et 1+j² par -j et calculer les puissances n

Posté par Profil Ramanujanre : Simplification 26-02-19 à 23:21

Oui merci ça me donne :

(1+j)^n + (1+j^2)^n = (-j^2)^n + (-j)^n

(1+j)^n + (1+j^2)^n = (-1)^n (\exp (\dfrac{4 i n \pi}{3}) + \exp (\dfrac{2 i n \pi}{3}))

Mais là je bloque je vois pas de simplification possible.

Posté par
Jezebethre : Simplification 26-02-19 à 23:52

Bonsoir

Essayez un arc moitié.

Posté par Profil Ramanujanre : Simplification 27-02-19 à 00:15

Ah d'accord :

(1+j)^n + (1+j^2)^n = (-1)^n \exp(i n \pi) (\exp (\dfrac{- i n \pi}{3}) + \exp (\dfrac{ i n \pi}{3})) = (-1)^{2n} 2 \cos(\dfrac{  n \pi}{3})=2 \cos(\dfrac{  n \pi}{3})

Posté par Profil Ramanujanre : Simplification 27-02-19 à 00:33

Par contre je suis perdu dans les calculs pour la suivante je dois montrer que :

j^2 (1+j)^n +j(1+j^2)^n = 2 \cos(\dfrac{(n-2) \pi}{3})

J'arrive à : (-1)^n \exp(i (n+1) \pi) (\exp(\dfrac{(n+1) \pi}{3}+\exp(\dfrac{-(n+1) \pi}{3})

Je comprends pas pourquoi je trouve pas la même chose

Posté par
Jezebethre : Simplification 27-02-19 à 00:51

Bah (n+1)*pi/3=(n-2)*pi/3+pi et cos(x+pi)=-cos(x)

Posté par Profil Ramanujanre : Simplification 27-02-19 à 01:03

Merci bien donc j'avais pas d'erreur de calcul

Posté par
Pirhore : Simplification 27-02-19 à 08:23

Bonjour,

je t'invite à regarder la solution élégante que Lake avait pondue dans un autre post, et que je me permets de recopier

-j^2=e^{\frac{i\pi}{3}}:

(1+j)^n+(1+j^2)^n=(1+j)^n+\overline{(1+j)^n}=2\Re [(1+j)^n]=2\Re[(-j^2)^n]=2\Re\left(e^{\frac{in\pi}{3}}\right) \\

Posté par Profil Ramanujanre : Simplification 27-02-19 à 13:11

Joli merci

En effet bien plus rapide que mes calculs fastidieux !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification 27-02-19 à 16:16

Bonjour,
Une autre manière, un peu moins élégante, d'éviter des calculs fastidieux :
Il est bon de savoir que 1+eit (et 1-eit) peuvent se transformer avec eit/2 :

1+eit = eit/2 (e-it/2 + eit/2) = 2 cos(t/2) eit/2

D'où 1+j = ei/3 et 1+j2 = e-i/3

(1+j)n + (1+j2)n = ein/3 + e-in/3 = ...


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