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Simplification Fonction racine carrée

Posté par
PauPaul0110 30-11-19 à 14:20

bonjour,

voici l'exercice

Soit f définie sur ]0 ; + [ par f(x) = \frac{1+x}{x}\left(\sqrt{1+x}-1 \right)

1. Déterminer \lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)

2. Montrer que pour tout x de  ]0 ; + [, f(x) = \frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}

3. En déduire \lim_{x\rightarrow \ 0 } f(x)

4. Montrer que f est dérivable sur son intervalle de définition et que pour tout x de cet intervalle, f'(x) = \frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{1+x}}{\left(1+\sqrt{1+x} \right)²}

5. Dresser alors le tableau de variation de f sur ]0 ; + [

6. Montrer que f\left(\left[\frac{1}{2};1 \right] \right)\subset \left[\frac{1}{2};1 \right]

Mon travail :

1. En calculant les limites de chaque termes, j'obtient que f(x) tend vers + quand x tend vers +

2. Je bloque sur ce calcul..

3. Si on admet la forme de la 2, on calcule les limites du numérateur et du dénominateur (1+x=1 et 1+1+x =1+1) donc 1/2

4, 5, 6 : je préfère attendre vos réponses pour continuer..

Merci d'avance

Posté par
Yzzre : Simplification Fonction racine carrée 30-11-19 à 14:45

Salut,

2 : multiplier nimérateur et dénominateur par  (\sqrt{1+x}+1 \right))

Posté par
kenavo27re : Simplification Fonction racine carrée 30-11-19 à 15:57

Bonjour
Salut Yzz
@PaulPaul0110
T'en es où ?

Posté par
Yzzre : Simplification Fonction racine carrée 30-11-19 à 19:39

Salut kenavo27  

Posté par
kenavo27re : Simplification Fonction racine carrée 30-11-19 à 20:43

Salut à toi
Camarade déconnecté !!!!

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 02-12-19 à 16:27

Bonjour à tous! (désolé de la réponse tardive, j'ai dû mettre les mathématiques de coté pendant quelques temps)

2.

C'est à dire que je dois multiplier (\sqrt{1+x}+1 \right)) au numérateur et au dénominateur de \frac{\left(1+x \right)\left(\sqrt{1+x}-1 \right)}{x}

soit \frac{(\left(1+x \right)\left(\sqrt{1+x}-1) \right)*\left(\sqrt{1+x} +1\right)}{x(\sqrt{1+x}+1) \right)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 02-12-19 à 18:33

Bonsoir,
En l'absence de Yzz et kenavo27, une petite aide :
(a-b)(a+b) ne t'évoque rien ?

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 03-12-19 à 11:21

Bonjour,

Oui bien évidemment, je voulais juste m'assurer que c'était bien ce qu'entendait Yzz

\frac{(\left(1+x \right)\left(\sqrt{1+x}-1) \right)*\left(\sqrt{1+x} +1\right)}{x(\sqrt{1+x}+1) \right)}

Mais si on suit l'ordre des parenthèses, on obtient ça :

\frac{\left( \sqrt{1+x}-1+x*\sqrt{1+x}-x\right)*\left(\sqrt{1+x} +1\right)}{x(\sqrt{1+x}+1) \right)}

Posté par
Priamre : Simplification Fonction racine carrée 03-12-19 à 11:34

Tu n'as pas suivi la suggestion de Silvieg . . .

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 03-12-19 à 11:40

bonjour

elle me suggère d'utiliser l'identité remarquable (a+b)(a-b) avec a =\sqrt{1+x} et b = 1 n'es-ce pas ?

Ce qui donnerais a² - b² soit 1+x - 1

??

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 03-12-19 à 11:47

Ben oui.
Ce n'est pas ce que tu proposais à 11h21.

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 04-12-19 à 09:44

Mais comme je multiplie \sqrt{1+x}-1 au numérateur, ça donne bien ça ?

((1+x)(\sqrt{1+x}-1))(\sqrt{1+x}+1)

Posté par
Priamre : Simplification Fonction racine carrée 04-12-19 à 18:32

La première expression de ton message de 11h21 et ton calcul partiel de 11h40 sont justes.
Tu est donc en mesure de répondre à la question 2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 04-12-19 à 19:10

Oui le numérateur donne \; (1+x)(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)
Ce qui fait (1+x)...

Et le dénominateur donne \; x(\sqrt{1+x}+1)

Evite de mélanger des expressions en LaTex avec des expressions sans LaTex.
Pour ça, tu peux utiliser l'aide de l'île :
Simplification Fonction racine carrée

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 05-12-19 à 09:59

(1+x)(1+x-1) au numérateur ou
x+x²

Si on simplifie par x en haut et en bas on obtient bien

\frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}

Je crois qu'on est bon

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 05-12-19 à 10:06

Oui, enfin !

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 05-12-19 à 10:16

Et bien merci pour vos aides à tous

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 05-12-19 à 10:44

3. J'ai trouvé un demi (voir premier message)... je pense que c'est bon, dites moi?

4. Pour une fonction rationnelle noté \frac{u}{v}
on obtient sa dérivée par \frac{u'v-uv'}{v²}

On a donc
u=1+x
u'=1
v=1+\sqrt{1+x}=\sqrt{w} avec w=1+x (on obtient donc w'=1)
v'=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}

Ce qui nous donne donc :

f'(x)=\frac{\left(1+\sqrt{1+x} \right) \left(\left(1+x \right) \left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \right)\right)}{\left(1+\sqrt{1+x} \right)²}

Je suis bon?

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 05-12-19 à 10:49

PauPaul0110 @ 05-12-2019 à 10:44

3. J'ai trouvé un demi (voir premier message)... je pense que c'est bon, dites moi?

4. Pour une fonction rationnelle noté \frac{u}{v}
on obtient sa dérivée par \frac{u'v-uv'}{v²}

On a donc
u=1+x
u'=1
v=1+\sqrt{1+x}=\sqrt{w} avec w=1+x (on obtient donc w'=1)
v'=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}

Ce qui nous donne donc :

f'(x)=\frac{\left(1+\sqrt{1+x} \right) \left(\left(1+x \right) \left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \right)\right)}{\left(1+\sqrt{1+x} \right)²}

Je suis bon?


Pardon je me suis trompé c'est f'(x)=\frac{\left(1+\sqrt{1+x} \right) - \left(\left(1+x \right) \left(\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \right)\right)}{\left(1+\sqrt{1+x} \right)²}

Posté par
Priamre : Simplification Fonction racine carrée 05-12-19 à 12:12

Exact. Une simplification te donnera l'expression attendue (question 4).

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 13-12-19 à 10:28

Re-Bonjour,

Je pensais pouvoir finir tout seul, mais il semblerait que les difficultés soient encore là...

j'ai donc \frac{(1+\sqrt{1+x})-\frac{1+x}{2\sqrt{1+x}}}{(1+\sqrt{1+x})²}


Comment je fais pour arriver plus loin ? Dois-je mettre au même dénominateur 1+sqrt(1+x) qui se trouve au numérateur ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 13-12-19 à 12:19

Ta dérivée est de la forme N/D
Le dénominateur D est déjà comme dans le résultat demandé : \; \left(1+\sqrt{1+x} \right)²

Je ne vois quoi faire d'autre que transformer le numérateur \; 1+\sqrt{1+x}-\dfrac{1+x}{2\sqrt{1+x}}

Pas en réduisant au même dénominateur, mais, comme suggéré par Priam, en simplifiant la fraction.

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 14:29

Ok, donc au numérateur j'ai :

1+\sqrt{1+x}-\frac{1+x}{2\sqrt{1+x}}
1+\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}\frac{x\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1+x})²} ou
1+\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}\frac{x\sqrt{1+x}}{1+x}


je vois pas trop comment continuer...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 14:41

Citation :
en simplifiant la fraction

Tu ne sais pas simplifier \dfrac{A}{2\sqrt{A}} ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 14:45

Et ce que tu as écrit est faux à la seconde ligne :

1+\sqrt{1+x}-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+x)\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1+x})²}

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 15:37

Sylvieg @ 19-12-2019 à 14:41

Citation :
en simplifiant la fraction

Tu ne sais pas simplifier \dfrac{A}{2\sqrt{A}} ?


Non je crois pas...


Sylvieg @ 19-12-2019 à 14:45

Et ce que tu as écrit est faux à la seconde ligne :

1+\sqrt{1+x}-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+x)\sqrt{1+x}}{(\sqrt{1+x})²}


Ah? Comme j'ai vu un 1 au numérateur et un 2 au dénominateur..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 15:39

Tu ne sais pas simplifier \dfrac{1789}{2\sqrt{1789}} ?

Posté par
PauPaul0110re : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 15:54

Sylvieg @ 19-12-2019 à 15:39

Tu ne sais pas simplifier \dfrac{1789}{2\sqrt{1789}} ?


Non..
ça donne, selon la calculatrice, \frac{\sqrt{1789}}{2}

J'en déduit que \dfrac{A}{2\sqrt{A}}=\dfrac{\sqrt{A}}{2}

Donc on a
Sylvieg @ 13-12-2019 à 12:19

Ta dérivée est de la forme N/D
Le dénominateur D est déjà comme dans le résultat demandé : \; \left(1+\sqrt{1+x} \right)²

Je ne vois quoi faire d'autre que transformer le numérateur \; 1+\sqrt{1+x}-\dfrac{1+x}{2\sqrt{1+x}}

Pas en réduisant au même dénominateur, mais, comme suggéré par Priam, en simplifiant la fraction.


1+\sqrt{1+x}-\dfrac{1+x}{2\sqrt{1+x}}
1+\sqrt{1+x}-\dfrac{\sqrt{1+x}}{2}

Ensuite je mets tout sur 2 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Simplification Fonction racine carrée 19-12-19 à 16:45

Tu vas dire que tu ne sais pas réduire \; 1+A-\dfrac{A}{2} \; ?

Pour \; \dfrac{A}{2\sqrt{A}} \; : C'est égal à \; \dfrac{(\sqrt{A})^{2}}{2\sqrt{A}} \; qui se simplifie par \; \sqrt{A} .


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