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Niveau Licence Maths 1e ann
simplifier fct trigo reciproque
Posté par dcdcdcdac
Bonjour,
Je suis parti de l'idée de couper un disque en trois surfaces identiques, S1, S2 et S3.
Avec la consigne d'effectuer 2 coupes perpendiculaires : on trace le cercle trigo, (première coupe : l'axe des cos) puis une Verticale entre les cosinus de &=pi et de &=pi/2 (2e coupe), en x=-a.
S1 est la surface à gauche du disque, compris entre l'"arc de cercle vertical", et la droite x=-a ( comprise entre x=-1 et x=-a)
S2 est la surface supérieure ( au dessus de la droite y=0) comprise entre -a et 1
S3 est la surface inférieure ( au-dessous de la droite y=0) comprise entre -a et 1
J'utilise la fonction f(x)= rac(1-x^2), issu de l'équation du cercle x^2+y^2=1
L'idée est de rechercher a en effectuant deux calculs d'intégrales : I1 de x=-1 à x=-a
(on multiplie I1 par 2 pour obtenir S1)
puis I2 de -a à 1, on obtient S2 et S3.
On obtient
F(x)=int (de c à x) f(x)dx=1/2[x.rac(1-x^2)- Arccosx]+C
Puis F(-1), F(-a) et F(1)
S1 /2= F(-a)-F(-1)
S2=F(1)-F(-a)
S3 = / -S2 / (car la surface est positive)
J'en suis arrivé à l'expression suivante en partant de S1=S2=S3 ou S1+S2+S3=pi (r^2=1 pour simplifier).
et pour séparer a :
a . rac (1-a^2) + Arccos(-a) -2.pi/3=0
Je n'arrive pas à trouver une suite dans cette expression afin d'isoler plus facilement a.
J'ai peut-être fait une erreur...
Peut-être ne suis-je pas totalement explicite...
Dites-moi
Merci
dc
Bonjour,
c'est simple : ça ne se simplifie pas
tu cherches à résoudre une équation qui se ramène in fine à Q(x) = F(x) où F(x) est une expression "transcendante" (avec des fonctions trigo, des exponentielles ou des logarithmes) et Q(x) une expression rationnelle en x, voire un simple polynome en x
une telle équation ne peut se résoudre que uniquement par approximations numériques.
nota ; en paramétrant par l'angle t au lieu de l'abscisse a, on obtient une expression plus simple, mais c'est du même genre
Bonjour,
merci beaucoup pour cette réponse.
Ca m'amène à une autre question : dans quelle mesure la fonction est-elle définie comme "transcendante" sachant que l'arcsin peut s'exprimer en un radical? (arcsincosx= rac (1-x^2) ( je n'ai pas vraiment de notion dans ce domaine).
De plus, cette fonction pourrait-elle être encadrée par des fonctions usuelles?
dernière question : avant le calcul d'intégrales par coordonnées cartésiennes, j'avais commencé à rechercher une équation avec des coordonnées cylindriques. Je me suis embourbé.
Qu'avez-vous trouvé comme expression svp?
Merci pour cette correspondance,
Cordialement
dc
il n'y a pas d'arc sin de cosinus dans le calcul
mais une équation
a . rac (1-a^2) + Arccos(-a) -2.pi/3=0
la partie en rouge est une fonction transcendante de l'inconnue a
(les racines carrées peuvent s'élever au carré donnant :
polynome en a = (Arcos(-a))² =fonction transcendante de a
le plus simple est de choisir comme inconnue l'angle t = AOB du segment de disque S1 :
alors le segment de disque S1 est égal au secteur = la fraction de l'aire du disque (t en radian) soit
moins le triangle OAB = 1/2 OA.OB.sin t = 1/2 sin t
comme clairement on a toujours S2 = S3 (symétrie), S1 = S2 = S3 sera quand S1 = 1/3 de l'aire du disque
d'où "directement" l'équation bien plus simple :
ou encore
et l'équation est tout aussi impossible à simplifier / résoudre de façon exacte, mais uniquement par approximations numériques.
par exemple par dichotomie ou par la méthode de Newton.
dcdcdcdac, bonjour
tu postes là en "énigmes", un autre sujet en licence
peux-tu renseigner ton profil s'il te plaît ?
extrait de 
la FAQ du forum :Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?
et est-ce que ce sujet n'aurait pas quelque chose à voir avec ton autre sujet ?
*** message déplacé ***
Bonjour,
Citation :
et est-ce que ce sujet n'aurait pas quelque chose à voir avec ton autre sujet ?
et est-ce que ce sujet n'aurait pas quelque chose à voir avec ton autre sujet ?
c'est clair
ma réponse ne lui convient pas, alors il reposte ailleurs....
que ce soit en énigme ou en supérieur la réponse sera la même :
que par approximations numériques.
*** message déplacé ***
c'est vrai que ce n'est pas tout à fait la même mais simplement "du même genre"
et pas dit non plus que ce ne soit pas issu du même problème avec juste un autre choix de variable (échange des coordonnées par exemple)
quelle que soit la variable choisie ça reviendra exactement au même.
*** message déplacé ***