Simplifier une expression avec des fonction trigonométriques

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Simplifier une expression avec des fonction trigonométriques
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Rayman  04-01-11 à 12:43
Bonjour,

je sais que cos(arcsin(x)) = sin(arccos(x)) = racine (1-x²)

mais comment simplifier les expressions suivantes : 

arccos(sin(x)) et arcsin(cos(x)) .

Y'en a t-il des expressions de ce genre avec tan et arctan

merci d'avance.
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GaBuZoMeure : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 14:23
Bonjour,

Il faudrait que tu te mettes en tête la définition des fonctions trigonométriques réciproques en tête une bonne fois pour toutes.

 veut dire, par définition :  et .

A partir de là, et suivant l'intervalle  où se trouve , on peut expliciter  en fonction de  (en s'aidant du cercle trigonométrique pour s'y retrouver). 

Voyons, essayons. On suppose  et . Alors 

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Raymanre : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 20:51
à partir de cos y = sin x

on a 

cos y = cos(pi/2 - x)

donc y=pi/2-x ou y= -pi/2+x
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GaBuZoMeure : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 21:03
Une seule des deux possibilités est valable ici. Il faut TOUJOURS se souvenir qu'un arccos est dans l'intervalle .
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Raymanre : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 21:15
ah oui donc y = arccos(sin x) = pi/2 - x

de même arcsin(cos x) = pi/2 -x.

merci pour ton aide.
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GaBuZoMeure : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 21:27
Attention,  n'est valable QUE SI , et  n'est valable QUE SI .
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Raymanre : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 22:00
Je ne comprends pas la raison puisuqe : 

sin x varie de R dans [-1;1] et arcos x varie de [-1;1] dans [0;pi]

donc arccos(sin x) varie de R dans [0;pi]

c'est valable pour arcsin(cos x), alors le domaine de définition est R pour les deux.

Par contre pour cos(arcsin x) et sin(arccos x) , là il faut faire attention car x doit appartenir à [-1;1].

Si ce que je dis c'est faux, j'aimerais savoir pourquoi cette restriction du domaine de définition.

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Raymanre : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  04-01-11 à 22:02
enfin je veux dire c'est comme avec l'histoire de exp et ln

pour ln(exp(x)): x appartien à R 

alors que 

pour exp(ln(x)), x appartient à R*+
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GaBuZoMeure : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  05-01-11 à 08:46
Tu mélanges tout, et tu ne tiens toujours pas compte de la définition des fonctions trigonométriques réciproques. 

Bien sûr que  est défini pour tout  ! Là n'est pas la question ! Ce que je dis, c'est que l'identité  n'est valable QUE SI .

Tu n'as toujours pas intégré le fait que  est, par définition, à valeurs dans [0,\pi]. Pourquoi ce blocage ? 

Contemple le graphe de . In ne coïncide avec la droite  QUE SUR L'INTERVALLE  !

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Raymanre : Simplifier une expression avec des fonction trigonométrique  05-01-11 à 20:49
OKI ! je vois !

merci pour ton aide .