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Sin (2x)= ?
Salut !
Voila j'ai un probléme c'est pour un Dm:
L'enoncé:
x désigne un réel apartenant à ]0;π/4[
I,A et B sont les points images resqpectivement de 0,x et 2x sur le cercle trigonometrique C de centre o.
La perpendiculaire à (OI) passant par A coupe (OI) en P et la perpendiculaire à (OB) passant par A coupe ( OB) en Q.les droites (OA) et (BI) se coupent en H.
Questions:
a)Demontrez que l'aire du triangle OIB est 1/2 sin(2x) et que celle du triangle OAP est 1/2 sin(x) cos(x.
b)Demontrer que les triangles OIH etOHB sont rectangles et ont des aires egales.
c)Demontrer que les triangles OIH et OAP ont des aires egales.
d) Deduire que l'aire du triangle OIB est le double de celle du triangle OAP.
e) Exprimer sin(2x) en fonction de sin(x) et cos(x).
Voila j'arrive à faire la figure et je sais que l'azire d'un triangle c'est Base x Hauteur/2 mais je trouve pas la hauteur.J'ai essayer differents calculs mais je n'arrive pas a tomber sur 1/2 sin(2x) (a))
Salut,
a) Aire(OIB)
Soit H le pied de la hauteur issue de B du triangle OIB.
Dans le triangle rectangle OBH: OB=1 (B appartient au cercle trigo) et .
on en déduit HB=sin(2x).
Aire(OAP)
dans le triangle rectangle OAP, on a: OA=1 et
donc et
soit: OP=cos(x) et AP=sin(x).
D'ou:
b) une méthode:
OIB isocèle de sommet O (OI=OB=1).
La droite (OA) est la bissectrice de l'angle car
.
Or, dans un triangle isocèle, bissectrice, médiane et hauteur confondues.
Donc (OA) est la hauteur issue de O du triangle OIB.
H est l'intersection de (OA) et (IB). On en déduit que OBH et OIH sont rectangles en H.
H est donc aussi le milieu de [IB], on a alors HI=HB.
et
on en déduit que ces deux triangles ont des aires égales.
c) de même qu'à la question (a):
dans le triangle rectangle OIH, on a: et OI=1.
cos(x)=OH/OI donc OH=cos(x)
sin(x)=IH/OI donc IH=sin(x)
on en déduit
d) Aire(OIB)=2*Aire(OIH) =2*Aire(OAP)
e) Aire(OIB)=sin(2x)/2
Aire(OAP)=cos(x)sin(x)/2
on en déduit alors:
soit:
sin(2x)=2cos(x)sin(x).
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