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sin cos fct° etc...
bonjour, je voudrais de l'aide pour un ex de maths:
Comment fait-on pour prouver qu'une admet un centre de symétrie ?
f(x)=(1-x²)/(2+x)=-x+2-(3/(x+2))
p(t)=(1-sin²t)/(2+sin t)
1°/ Expliquez comment l'étude des variations de p sur [-pi/2;pi/2] permet de construire la courbe représentative de p.
2°/ Le but de cette question est de prouver que l'équation p'(t)=0 admet une solution, notée alpha, dans l'intervalle ouvert ]-pi/2;pi/2[
a/ montrez que la dérivée f' de f est strictement décroissante sur [-1 ;1]. Quelle est l'image de [-1 ;1] par f' ?
b/ soit p' la dérivée de p. Pour tout t réel, prouvez l'égalité :
p'(t)=f'(sin t) cos t.
c/ prouvez l'existence et l'unicité de alpha.
d/ calculez la valeur exacte de p(alpha).
3°/ a/ calculez les valeurs exactes de p(alpha), p(pi/6), p(pi/4), p(pi/3) et p'(0).
b/ étudiez les variations de p sur [0 ;pi/2].
Tracez la courbe représentative de p sur [0 ;pi/2] dans le plan rapporté à un repère orthonormal .
4°/ en utilisant la fonction h de R vers R définie par h(t)=p(t)-t,
prouvez que l'équation p(t)=t admet une solution unique, notée xo, dans [0 ;pi/2].
Montrez que xo est la seule solution de l'équation p(t)=t dans R.
Résoudre graphiquement l'équation p(t)=t à l'aide du 3°/b/.
Merci de m'aider car je ne vois pas du tout comment faire.
Je réponds pour le centre de symétrie de la courbe représentant f(x)
La droite d'équation x = -2 est asymptote verticale à la courbe représentant f(x)
La droite d'équation y=-x+2 est asymptote oblique à la courbe représentant f(x)
Quand il y a des asymptotes, le centre de symétrie, s'il existe est à l'intersection des asymptotes.
x = -2
y = -x+2
-> y = 4
Si il y a un centre de symétrie, c'est au point de coordonnées (-2 ; 4)
Vérifions si ce point est bien centre de symétrie:
f(-2+x)=(1-(-2+x)²)/x
f(-2+x) = (-x² + 4x - 3)/x
f(-2-x) = (1-(-2-x)²)/(-x)
f(-2-x) = (-1+(4+x²+4x))/x
f(-2-x) = (x²+4x+3))/x
f(-2+x) + f(-2-x) = (-x² + 4x - 3 + x² + 4x + 3)/x
f(-2+x) + f(-2-x) = 8x/x = 8
(f(-2+x) + f(-2-x))/2 = 4
Et donc le point de coordonnées (-2 ; 4) est bien centre de symétrie de la courbe représentant f(x)
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Sauf distraction. 
1°)
Théorie (va voir ton cours).
2)a)
f '(x) = [(-2x(2+x)-1+x²]/(2+x)² = (-x²-4x-1)/(2+x)² = -1 + (3/(2+x)²)
f ''(x) = -6/(2+x)³
f ''(x) < 0 pour x dans [-1 ; 1] -> f '(x) est strictement décroissante.
f '(-1) = 2
f '(1) = -2/3
L'image de [-1 , 1] par f ' est [-2/3 ; 2]
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b)
p(t) = cos²t/(2+sin(t))
p'(t) = (-2cos(t).sin(t).(2+sin(t))-cos³(t))/(2+sin(t))²
p'(t) = -cos(t).(2.sin(t).(2+sin(t))-cos²(t))/(2+sin(t))²
p'(t) = -cos(t).(2.sin(t).(2+sin(t))-1+sin²(t))/(2+sin(t))²
p'(t) = cos(t).(-3sin²(t)-4sin(t)+1)/(2+sin(t))²
f '(x) = (-x²-4x-1)/(2+x)²
f '(sin(t))= (-sin²(t)-4sin(t)-1)/(2+sin(t))²
-> p'(t) = cos(t).f '(sin(t))
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c)
Sur ]-Pi/2 ; Pi/2[, cos(t) > 0
Donc dans cet intervalle, p'(t) = 0 pour f '(sin(t)) = 0
comme -1 < sin(t) < 1 sur ]-Pi/2 ; Pi/2[, que sin(t) est sur cet intervalle.
f '(sin(t)) est strictement décroissante et est dans ]-2/3 ; 2[ (voir point 2a)
Il y a donc une et une seule valeur de sin(t) pour t dans ]-Pi/2 ; Pi/2[ pour laquelle f '(sin(t)) = 0.
Et comme sin(t) est strictement croissante sur cet intervalle ->
Il y a une et une seule valeur de t dans ]-Pi/2 ; Pi/2[ pour laquelle f '(sin(t)) = 0, soit alpha cette valeur de t.
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d)
f '(sin(t))= (-sin²(t)-4sin(t)-1) = 0
sin(t) = (-2 +/- V(3) (V pour racine carrée)
Mais (-2 - V73 < -1 et est donc impossible pour un sinus.
-> sin(t) = -2 + V(3) est la seule valeur qui convient
p(alpha) = (1-sin²(t))/(2+sin(t)) et avec sin(t) = (-2 + V(7))/3 ->
P(alpha) = (1 - (-2+V3)²)/(2 + (-2+V3))
P(alpha) = (1 - (4+3-4V3))/V3
P(alpha) = (4V3 - 6))/V3
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3°
a)
Calculs pour toi.
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b)
sin(alpha) = -2 + V(3) < 0 et donc alpha < 0
donc pour t dans [0 ; Pi/2[, f '(sin(t)) < 0
p'(t) = cos(t).f '(sin(t))
et cos(t) > 0 pour t dans [0 ; pi/2[
-> p'(t) a le signe de f '(sin(t))
p '(t) < 0 pour t dans [0 ; pi/2[
p '(t) = 0 pour t = Pi/2 (car cos(t) = 0)
p(t) est strictement décroissante pour t dans [0 ; Pi/2]
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b)
dessin pour toi
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4°
h(t) = p(t) - t
h'(t) = p'(t) - 1
Comme p'(t) <= 0 sur [0 ; Pi/2] (voir avant) -> h'(t) < 0 sur cet intervalle.
Et donc h(t) est strictement décroissante pour t dans [0 ; Pi/2]
h(0) = 1/2 > 0
h(Pi/2) = -Pi/2 < 0
Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et seule valeur de t dans [0 ; Pi/2] pour laquelle p(t) = t.
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Sauf distraction.
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