Bonsoir,

Tes formules sont mal parenthésées  :

1/b) (x^3 + 3x²+3x)/(1+x)V(x+1)  =

(x^3 + 3x²+3x)/(1+x)   V(x+1)
ou (x^3 + 3x²+3x)/ ( (1+x)   V(x+1) ) ???

A l'avenir, présente tes messages un peu mieux si tu souhaite
avoir une réponse.

D'autre part, le but de ce forum n'est pas de t'apporter une réponse
toute cuite,
mais de t'aider à résoudre un problème auquel tu as déjà commencé
à refléchir...

A bon entendeur.

1/a)

f(x)= V(1+x) -1 - (x/2) + (x²/8)  
f '(x) = (1/(2.V(1+x))) - (1/2) + (x/4)
f ''(x) = -(1/(4V(1+x)³)) + (1/4)
------------
b)
(1+x)V(1+x) -1 = [(1+x)V(1+x) -1]*[(1+x)V(1+x) +1]/[(1+x)V(1+x) +1]
= [(1+x)²(1+x) - 1]/[(1+x)V(1+x) +1]
= [(1+x)³ - 1]/[(1+x)V(1+x) +1]
= (1 + 3x² + 3x + x³ - 1)/[(1+x)V(1+x) +1]
= (x³ + 3x² + 3x)/[(1+x)V(1+x) +1]

= x(x² + 3x + 3)/[(1+x)V(1+x) +1]
Pour x >=0, le dénominateur est > 0 et x² + 3x + 3 est également > 0.

->  (x³ + 3x² + 3x)/[(1+x)V(1+x) +1] >= 0 pour x >= 0.
(1+x)V(1+x) -1 >= 0 pour x >= 0.
------------
c)
f ''(x) = -(1/(4V(1+x)³)) + (1/4)
f ''(x) = (1/4).[1 - 1/(V(1+x)³)] = (1/4).[1 - 1/(1+x)V(1+x))]
f ''(x) = (1/4).[(1+x)V(1+x) - 1]/[(1+x).V(1+x)]
On a montré dans le point b que le numérateur de f ''(x) était
>= 0
Le dénominateur est aussi > 0 pour x >= 0 -> f ''(x) >= 0
pour x >= 0 -> f '(x) est croissante.

f '(0) = (1/2) - (1/2) + (0/4) = 0
Et donc f '(x) >= 0 pour x >= 0 -> f(x) croissante.
-------------
d)
f(0) = 1 - 1 - 0 + 0 = 0
et avec  f(x) croissante pour x >= 0 ->

f(x) >= 0 pour x >= 0
V(1+x) -1 - (x/2) + (x²/8)  >= 0 pour x >= 0
V(1+x) >= 1 + (x/2) - (x²/8)  pour x >= 0
1 + (x/2) - (x²/8) <= V(1+x)  pour x >= 0
-------------------------------------------------------------------------
2/a et b)
g(x)=1+ (x/2) - (x²/8) + (x^3 /16) - V(1+x)  
g '(x) = (1/2) - (x/4) + (3x²/16) - 1/(2V(1+x))
g ''(x) = (-1/4) + (3x/8) +  1/(4V(1+x)³)
g '''(x) = (3/8) - (3/8)[1/V(1+x)^5]
g '''(x) = (3/8) [1-(1/V(1+x)^5)]
g '''(x) = (3/8) [1-(1/((1+x)².V(1+x)))]
g '''(x) = (3/8) [(1+x)².V(1+x)-1]/[(1+x)².V(1+x)]


Le dénominateur est positif pour x dans [0 ; oo[
-> g '''(x) a le signe de [(1+x)².V(1+x)-1]
Comme (1+x)² et V(1+x) sont 2 fonction croissantes positives, (1+x)².V(1+x)
est également croissante.
La valeur min pour x dans [0 ; oo[ de (1+x)².V(1+x) est donc en x =
0, cette valeur min est = 1.
-> (1+x)².V(1+x) - 1 >= 0 pour x dans [0 ; oo[
Et donc g '''(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g ''(x)
est croissante.
g ''(0) = (-1/4) + 0 +  (1/4) = 0

Des 2 lignes précédentes ->
g ''(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g'(x) est croissante.

g '(0) = (1/2) - 0 + 0 - (1/2) = 0
Des 2 lignes précédentes ->
g '(x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> g(x) est croissante.
-------------------------
c)
g (0) = 1+ 0 - 0 + 0 - 1  = 0
Des 2 lignes précédentes ->
g (x) >= 0 pour x dans ]0 ; oo[
1+ (x/2) - (x²/8) + (x^3 /16) - V(1+x) >= 0   pour x dans ]0 ; oo[
1+ (x/2) - (x²/8) + (x^3 /16) >= V(1+x)    pour x dans ]0 ; oo[
V(1+x) <= 1+ (x/2) - (x²/8) + (x^3 /16)     pour x dans ]0 ; oo[
-----------------------------------------------------
3/ a)
De tout ce qui précède, on a:
1 + (x/2) - (x²/8) <= V(1+x) <= 1+ (x/2) - (x²/8) + (x^3 /16)  (pour
x dans ]0 ; oo[)

Et donc V(1+x) = 1+ (x/2) - (x²/8) à  (x^3 /16) près par défaut.
--------------------
Sauf distraction.