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Solution d'une équation
Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.
Exercice:
n est un entier naturel non nul.
Démonstrer que l'equation xn+1-2xn+1=0 admet une racine comprise entre 2n/n+1 et 2.
Réponses :
Soit f(x)=xn+1-2xn+1
Df=R
n ≥ 1 => n-1 ≥0
Le signe de f'(x) est celui de (n+1)x-2n
* (n+1)x-2n=0 => x=2n/(n+1)
f'(x)≥0 sur [2n/(n+1) ; +oo[ , f est croissante sur [2n/(n+1) ; +oo[
f'(x) ≤0 sur ]-oo ; 2n/(n+1)] , f est décroissante sur ]-oo ; 2n/(n+1)[
Pour dresser le tableau de variation , je dois calculer les limites de f en +oo et en -oo.
_si n est pair , n+1 est impair
_ si n est impair , n+1 est pair
Dois je dresser deux tableaux de variation en fonction de la parité de n?
Salut,
Il n'est pas nécessaire de faire deux tableaux de variations : on te demande juste de prouver qu'il y a une racine entre comprise entre 2n/n+1 et 2 , donc inutile de voir ce qui se passe "ailleurs".
salut
sauf erreur tu peux utiliser le theoreme des valeurs intermediaires à condition de verifier que f est continu sur [2n/n+1 , 2]
Bonjour à tous,
Je me permets d'intervenir car j'ai l'impression que les pistes proposées ne sont pas idéales.
Le signe de f(2n/(n+1)) ne me semble pas évident par calcul direct. Mais je peux être passée à côté de quelque chose.
on te demande juste de prouver qu'il y a une racine entre comprise entre 2n/n+1 et 2 , donc inutile de voir ce qui se passe "ailleurs".
Par exemple sur [0;2n/(n+1)] où f est décroissante.
0 < 1 < 2n/(n+1) et f(1) = ...
@Samsco,
Dans ton 1er message, le signe de xn-1 sur
dépend de la parité de n.
Mais on peut se contenter de ce qui se passe pour x positif ou nul.
Salut Sylvieg 😊,
Le calcul de f(2n/n+1) me donne sauf erreur. -2.(2n) n/(n+1)n+1 +1. Il suffirait de montrer que 2.(2n) n/(n+1)n+1 >1 pour conclure que f(2n/n+1) <0. ( en indiquant cela comme hypothèse au départ) qu en penses tu ?
Salut flight,
J'en pense que j'ai essayé de déterminer le signe de f(2n/n+1) à partir de son expression, et rien trouvé 
Alors que f(1) me semble plus sympathique, et permet de conclure sur le signe de f(2n/n+1).
Ça n'est pas la solution, car elle n'est pas dans l'intervalle demandé.
Mais la valeur de f(1) permet de démontrer que f(2n/n+1) est négatif.
Je n'y ai pas pensé du 1er coup...
tu peux donc calculer f(2n/(n+1)) et f(2)
Déjà fait le 22-12-20 à 19h03
La valeur de f(2) est donné dans mon tableau de variation.
f(2)=2n+1-2×2n+1=1
f étant décroissante sur [f(2n / n+1 ; 0] donc f(2n /n+1)<0.
La fonction f est continue et croissante sur [2n/(n+1) ; 2] , et f[2n/(n+1) ; 2]=[f(2n/ n+1) ; 1] .
Puisque f(2n/n+1) ? 0 ? 1 , l'équation f(x)=0 admet une racine comprise entre 2n/(n+1) et 2.
Le tableau est bon.
Ce n'est pas sur [f(2n / n+1 ; 0] que la fonction f est décroissante.
Et il faut des parenthèses autour du dénominateur n+1.
C'est :
f étant décroissante sur [1 ; 2n/(n+1)], on a donc f(2n/(n+1)) 
f(1).
D'où f(2n/(n+1)) 0
Deux remarques :
Si n = 1 alors 2n/(n+1) est égal à 1. C'est pourquoi il faut mettre des inégalités larges.
Justifier 2n/(n+1) 
1 ne me semble pas inutile.
f étant décroissante sur [1 ; 2n/(n+1)] donc f(2n /n+1) ≤ 0.
Justifier 2n/(n+1)
1 ne me semble pas inutile.On a : n≥1 => 2n ≥2 (1)
n≥1 => n+1≥2 (2)
(1)/(2) : 2n/(n+1) ≥ 1
Ok je fais autre chose alors.
2n/(n+1)=1/(1/2 + 1/2n )
n ≥ 1 => 2n ≥ 2
=> 1/2n ≤ 1/2
=> 1/2 + 1/2n ≤ 1
=> 1/(1/2 + 1/2n) ≥ 1
=> 2n/n+1 ≥1
m'ouais ... sauf qu'il manque des parenthèses indispensables dans tes expressions ...
et si on veut éviter de se compliquer la vie :
Oui, et de manière générale, une méthode pour démontrer A B quand on ne voit rien d'évident :
Transformer B-A dans le but de démontrer que B-A est positif ou nul.
Ça marche à presque tous les coups 
de manière générale, une méthode pour démontrer A
B quand on ne voit rien d'évident :
Transformer B-A dans le but de démontrer que B-A est positif ou nul.
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