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Solution unique dans IR.

Posté par
matheux14
29-11-20 à 20:47

Bonsoir ,

Merci d'avance.

1) Démontrer que l'équation -2x³-3x²+12x-9=0 admet une solution unique dans \R tel que -4 < < -3.

2) Donner une valeur approchée de à 10^{-1} près :

a-) En utilisant la méthode par balayage.

b-) En utilisant la méthode par dichotomie.

Réponses

1) \forall x \in \R , soit f(x)=-2x³-3x²+12x-9.

f est dérivable sur \R.

f'(x)=-6x²-6x+12

f'(x)=-6(x-1)(x+2)

Donc \forall x \in ]-\infty ;-2] \cup [1 ;+\infty[ , f'(x) \leq 0

\forall x \in [-2 ; 1] , f'(x) \geq 0.

Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] U [1 ;+∞[.

Je ne vois pas comment faire ensuite.

Posté par
carpediem
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 20:49

salut

étudie f seulement sur l'intervalle [-4, -3] !!!

ensuite utilise le "TVI" !!

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 21:05

Comme -4 ~ \text{et} -3 \in ]-\infty ;-2] , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].

f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.

D'après le théorème de Corollaire , f admet une solution unique dans ]-4 ;-3[.

D'où -4 < < -3.

Je ne vois pas comment utiliser le taux de variation là si j'ai bien compris

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 21:14

Salut,

(en l'absence de carpediem ) :

Ilme semble qu'il faut tout de même étudier la fonction sur IR (cf question posée : 1)

Citation :
Démontrer que l'équation -2x³-3x²+12x-9=0 admet une solution unique dans \R tel que -4 < < -3.
à comprendre : "une unique solution sur IR ; et cette solution est entre -4 et -3.
Ensuite :
Revois ton cours, "D'après le théorème de Corollaire " ne veut rien dire.
Enfin :
Citation :
Je ne vois pas comment utiliser le taux de variation là si j'ai bien compris
Que vient faire ici un "taux de variation" ?

Posté par
carpediem
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 21:19

Yzz : oui tu peux !!! bien sûr ...

je me concentrais essentiellement sur l'intervalle [-4, -3] mais tu as bien sur raison ... il faudra justifier qu'il n'y en pas ailleurs

PS : je poserai bien entendu f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 9 pour éviter tous ces signes et parce que -a = 0 <=> a = 0

...

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 21:26

Citation :
"une unique solution sur IR ; et cette solution est entre -4 et -3.


Ok.

Citation :
Revois ton cours, "D'après le théorème de Corollaire " ne veut rien dire.


C'est écrit là '' Corollaire'' , je ne vois pas comment énoncé ce théorème d'une autre manière.

Citation :
Que vient faire ici un "taux de variation" ?


Dans ce cas j'ai mal compris ceci.

Citation :
ensuite utilise le "TVI" !!

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 21:27

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 21:41

2) Je fais comment ?

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 29-11-20 à 22:35

Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 06:39

Citation :
C'est écrit là '' Corollaire'' , je ne vois pas comment énoncé ce théorème d'une autre manière.
C'est le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Citation :
Que vient faire ici un "taux de variation" ?


Dans ce cas j'ai mal compris ceci.

Citation :
ensuite utilise le "TVI" !!
Que signifie "TVI", à ton avis ? (réponse pastrès loin, en bleu).
matheux14 @ 29-11-2020 à 22:35

Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?
Oui, mais pas que.
matheux14 @ 29-11-2020 à 21:41

2) Je fais comment ?
Avec une calculatrice. Au moins deux méthodes. Tu peux chercher sur internet, ou dans ton livre...

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 07:07

Citation :
matheux14 @ 29-11-2020 à 22:35

Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?
Oui, mais pas que.


Ok , mais je ne comprends pas pourquoi on devrait le faire..

2) on peut avoir = 3,1.

Mais comment trouver cela par ces deux différentes méthodes que je ne retrouve pas ?

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 07:18

On te demande de justifier que f(x) = 0 admet une unique solution sur IR.
Il te faut donc étudier la fonction sur IR, pas seulement sur [-4;-3].

Citation :
2) on peut avoir = 3,1.
Non, on ne peut pas.
Trouvé comment ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 08:22

Bonjour,
Juste en passant :
@matheux14,
Cherche le sens du mot corollaire en français.

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 14:46

Ok , mais le problème c'est que je n'arrive pas à répondre à cette 2e question ..

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 16:29

Citation :
On te demande de justifier que f(x) = 0 admet une unique solution sur IR.
Il te faut donc étudier la fonction sur IR, pas seulement sur [-4;-3].


Pourtant c'est bien ce que je croyais faire :

1) \forall x \in \R , soit f(x)=-2x³-3x²+12x-9.

f est dérivable sur \R.

f'(x)=-6x²-6x+12

f'(x)=-6(x-1)(x+2)

Donc \forall x \in ]-\infty ;-2] \cup [1 ;+\infty[ , f'(x) \leq 0

\forall x \in [-2 ; 1] , f'(x) \geq 0.

Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] U [1 ;+∞[.

Comme -4 ~ \text{et} -3 \in ]-\infty ;-2] , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].

f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.

D'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire , f admet une solution unique dans \R tel que \in ]-4 ;-3[ ou encore -4 < < -3.


Je ne comprends pas pourquoi je devrais calculer f(]-∞ ;-2[)

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 16:45

Tu n'as fait que prouver que f(x) = 0 a une unique solution  sur [-4 ; -3] , tu n'as pas prouvé qu'il n'y en avait pas une autre ailleurs.
Donc : fais ton tableau de variation complet sur IR, et prouve que f ne s'annule pas ailleurs que sur  [-4 ; -3].

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 17:31


1) \forall x \in \R , soit f(x)=-2x³-3x²+12x-9.

f est dérivable sur \R.

f'(x)=-6x²-6x+12

f'(x)=-6(x-1)(x+2)

Donc \forall x \in ]-\infty ;-2] \cup [1 ;+\infty[ , f'(x) \leq 0

\forall x \in [-2 ; 1] , f'(x) \geq 0.

Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] et sur [1 ;+∞[.

* Tableau de variation de f.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty , \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty  , f(-2)=-29 et f(1)=-2

Solution unique dans IR.

* Comme -4 ~ \text{et} -3 \in ]-\infty ;-2] , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].

f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.

D'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire , f admet une solution unique dans \R tel que \in ]-4 ;-3[ ou encore -4 < < -3.

* f est continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; -2] et f(]-∞ ; -2])= [-29 ; +∞[.

0 et -4 et -3 \in [-29 ; +∞[ , donc f(x)=0 admet une solution unique dans ]-∞ ;-2] tel que -4 < < -3.

* f est continue et strictement croissante sur [-2 ;1] et f([-2 ;1])= [-29 ;1].

0 , -4 et -3  \in [-29 ;1] , donc f(x)=0 admet une solution unique dans [-2 ;1] tel que -4 < < -3.

Par conséquent , f(x)=0 admet une solution unique dans \R tel que -4 < < -3.

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 19:06

Non.
Tu n'as visiblement pas compris le fond du problème.

Pour montrer que f(x) n'a qu'une seule solution dans IR  (qu'elle soit dans [-4 ; -3], on verra après) :

- Tu montres qu'il n'y en a qu'une seule dans ]-oo ; -2] en appliquant le corollaire du TVI
- Tu montres qu'il n'y en a pas d'autre ailleurs, c'est à dire dans [-2;+oo[

Enfin, tu prouves que cette solution est dans [-4 ; -3].

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 19:36

1) \forall x \in \R , soit f(x)=-2x³-3x²+12x-9.

f est dérivable sur \R.

f'(x)=-6x²-6x+12

f'(x)=-6(x-1)(x+2)

Donc \forall x \in ]-\infty ;-2] \cup [1 ;+\infty[ , f'(x) \leq 0

\forall x \in [-2 ; 1] , f'(x) \geq 0.

Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] et sur [1 ;+∞[.

* Tableau de variation de f.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty , \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty  , f(-2)=-29 et f(1)=-2

Solution unique dans IR.


* f est continue et strictement croissante sur [-2 ;1] et f([-2 ;1])= [-29 ;-2].

0 \notin [-29 ;-2] , donc f(x)=0 n'admet aucune solution dans [-2 ;1].

*f est continue et strictement décroissante sur [1 ;+∞[ et f([1; +∞[)=]-∞ ;-2].

0 \notin ]-∞ ;-2] , donc f(x)=0 n'admet aucune solution dans [1 ;+∞[.

Par conséquent , f(x)=0 admet une solution unique dans \R.

* f est continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; -2] et f(]-∞ ; -2])= [-29 ; +∞[.

0 \in [-29 ; +∞[ , donc f(x)=0 admet une solution unique dans ]-∞ ;-2].

Par conséquent , f(x)=0 admet une solution unique dans \R.

* Comme -4 ~ \text{et} -3 \in ]-\infty ;-2] , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].

f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.

D'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire , f admet une solution unique dans \R tel que \in ]-4 ;-3[ ou encore -4 < < -3.

Posté par
carpediem
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 19:49

on peut faire plus simple (que ce travail trop mécanique) :

le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.

f est strictement décroissante de ]-oo, -2] sur [-29, +oo[ et 0 appartient à cet intervalle.

donc d'après le TVI l'équation f(x) admet une unique solution dans l'intervalle ]-oo, -2]

or f(-4) = ... et f(-3) = ... donc f(-3) < 0 < f(-4)

donc la solution de l'équation f(x) = 0 appartient à l'intervalle [-4, -3]

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 30-11-20 à 20:09

Citation :
le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.


Le minimum ?

Citation :
f est strictement décroissante de ]-oo, -2] sur [-29, +oo[ et 0 appartient à cet intervalle.


Oui , je vois bien la bijection réciproque de f.

Citation :
donc d'après le TVI l'équation f(x) admet une unique solution dans l'intervalle ]-oo, -2]

or f(-4) = 23 et f(-3) = -18 donc f(-3) < 0 < f(-4)

donc la solution de l'équation f(x) = 0 appartient à l'intervalle [-4, -3]


Je n'ai pas bien compris.

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 01-12-20 à 06:56

Toujours en accord avec carpediem ( ( ) , je reprends tes remarques :

Citation :
Le minimum ?
Comment ça, le minimum ? Regarde le tableau de variations !
Et si le minimum était -2 , comment affirmer alors que f(x) = 0 n'a pas de solution ?
"le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 " signifie que f(x) -2 sur [-2, +oo[ ... et donc f(x) = 0 ...etc ...

Citation :
Oui , je vois bien la bijection réciproque de f.
Ah bon ? Tu pourrais donner son expression ? (ça n'a pas d'intérêt ici)

Citation :
Je n'ai pas bien compris.
C'est pourtant l'essence même de l'application du CTVI. A chaque fois tu donnes : f(a)*f(b) < 0 donc etc..." : cela signifie que f(a) et f(b) sont de signes contraires, et donc que 0 appartient à [f(a);f(b)], et donc que f(x)=0 admet etc...
Mais cette "méthode" ne s'applique que pour l'équation f(x) = 0 , alors que le TVI est valable pour toute équation du type f(x) = k compris entre f(a) et f(b).
Par exemple dans ton exercice, on aurais pu te demander de prouver que l'équation f(x) = 12 admet une unique solution dans IR : tu ne t'en serais pas sorti avec un "f(a)*f(b) = k" (sauf à changer de fonction naturellement).

Bonne journée  

Posté par
Yzz
re : Solution unique dans IR. 01-12-20 à 06:57

Rectif de la fin :  tu ne t'en serais pas sorti avec un "f(a)*f(b) < 0" (...)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Solution unique dans IR. 01-12-20 à 08:37

Bonjour,
Je crois que le sujet est plus ou moins clos.
Je me permets donc d'intervenir sur

Citation :
Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]- ; -2[) ?
Ça n'est pas inutile, mais pas vraiment nécessaire.
La fonction est décroissante sur ]- ; -2[ ; donc si \; x < -4 \; alors \; f(x) > f(-4) .
Vu que f(-4) = 23, on a f(x) non nul si x < -4.

Bref, les limites en ne sont pas nécessaires.
Sur [-4;-3], on utilise une conséquence (corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.
Ailleurs, c'est du niveau classe de seconde.

Il n'est pas interdit de s'appuyer sur un second tableau de variation en y insérant -4 et -3 dans la ligne des x, et 23 et -18 dans la flèche descendante de gauche.

Posté par
matheux14
re : Solution unique dans IR. 01-12-20 à 15:02

Je comprends mieux maintenant.

Merci

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