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Niveau terminale
Solution unique dans IR.
Posté par matheux14
Bonsoir ,
Merci d'avance. 
1) Démontrer que l'équation admet une solution unique
dans tel que -4 <
< -3.
2) Donner une valeur approchée de à près :
a-) En utilisant la méthode par balayage.
b-) En utilisant la méthode par dichotomie.
Réponses
1) , soit
.
f est dérivable sur .
Donc ,
,
.
Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] U [1 ;+∞[.
Je ne vois pas comment faire ensuite.
Comme , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].
f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.
D'après le théorème de Corollaire , f admet une solution unique dans ]-4 ;-3[.
D'où -4 < < -3.
Je ne vois pas comment utiliser le taux de variation là si j'ai bien compris
Salut,
(en l'absence de carpediem ) :
Ilme semble qu'il faut tout de même étudier la fonction sur IR (cf question posée : 1)
Citation :
Démontrer que l'équation
admet une solution unique dans 
tel que -4 < < -3.
à comprendre : "une unique solution sur IR ; et cette solution est entre -4 et -3.
Démontrer que l'équation
dans < -3.Ensuite :
Revois ton cours, "D'après le théorème de Corollaire " ne veut rien dire.
Enfin :
Citation :
Je ne vois pas comment utiliser le taux de variation là si j'ai bien compris
Que vient faire ici un "taux de variation" ?Je ne vois pas comment utiliser le taux de variation là si j'ai bien compris
Yzz : oui tu peux !!! bien sûr ...
je me concentrais essentiellement sur l'intervalle [-4, -3] mais tu as bien sur raison ... il faudra justifier qu'il n'y en pas ailleurs
PS : je poserai bien entendu f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 9 pour éviter tous ces signes et parce que -a = 0 <=> a = 0
...
Citation :
"une unique solution sur IR ; et cette solution est entre -4 et -3.
"une unique solution sur IR ; et cette solution est entre -4 et -3.
Ok.
Citation :
Revois ton cours, "D'après le théorème de Corollaire " ne veut rien dire.
Revois ton cours, "D'après le théorème de Corollaire " ne veut rien dire.
C'est écrit là '' Corollaire'' , je ne vois pas comment énoncé ce théorème d'une autre manière.
Citation :
Que vient faire ici un "taux de variation" ?
Que vient faire ici un "taux de variation" ?
Dans ce cas j'ai mal compris ceci.
Citation :
ensuite utilise le "TVI" !!
ensuite utilise le "TVI" !!
Citation :
C'est écrit là '' Corollaire'' , je ne vois pas comment énoncé ce théorème d'une autre manière.
C'est le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
C'est écrit là '' Corollaire'' , je ne vois pas comment énoncé ce théorème d'une autre manière.
Citation :
Que vient faire ici un "taux de variation" ?
Que vient faire ici un "taux de variation" ?
Dans ce cas j'ai mal compris ceci.
Citation :
ensuite utilise le "TVI" !!
Que signifie "TVI", à ton avis ? (réponse pastrès loin, en bleu).
ensuite utilise le "TVI" !!
matheux14 @ 29-11-2020 à 22:35
Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?
Oui, mais pas que.
Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?
matheux14 @ 29-11-2020 à 21:41
2) Je fais comment ?
Avec une calculatrice. Au moins deux méthodes. Tu peux chercher sur internet, ou dans ton livre...2) Je fais comment ?
Citation :
matheux14 @ 29-11-2020 à 22:35
Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?
Oui, mais pas que.Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-∞ ; -2[) ?
Ok , mais je ne comprends pas pourquoi on devrait le faire..
2) on peut avoir
= 3,1.
Mais comment trouver cela par ces deux différentes méthodes que je ne retrouve pas ?
On te demande de justifier que f(x) = 0 admet une unique solution sur IR.
Il te faut donc étudier la fonction sur IR, pas seulement sur [-4;-3].
Citation :
2) on peut avoir = 3,1.
Non, on ne peut pas.
2) on peut avoir
= 3,1.Trouvé comment ?
Citation :
On te demande de justifier que f(x) = 0 admet une unique solution sur IR.
Il te faut donc étudier la fonction sur IR, pas seulement sur [-4;-3].
On te demande de justifier que f(x) = 0 admet une unique solution sur IR.
Il te faut donc étudier la fonction sur IR, pas seulement sur [-4;-3].
Pourtant c'est bien ce que je croyais faire :
1)
f est dérivable sur
Donc
Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] U [1 ;+∞[.
Comme
f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.
D'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire , f admet une solution unique dans
< -3.
Je ne comprends pas pourquoi je devrais calculer f(]-∞ ;-2[)
Tu n'as fait que prouver que f(x) = 0 a une unique solution sur [-4 ; -3] , tu n'as pas prouvé qu'il n'y en avait pas une autre ailleurs.
Donc : fais ton tableau de variation complet sur IR, et prouve que f ne s'annule pas ailleurs que sur [-4 ; -3].
1) , soit
.
f est dérivable sur .
Donc ,
,
.
Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] et sur [1 ;+∞[.
* Tableau de variation de f.
,
,
et
* Comme , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].
f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.
D'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire , f admet une solution unique dans tel que
]-4 ;-3[ ou encore -4 <
< -3.
* f est continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; -2] et f(]-∞ ; -2])= [-29 ; +∞[.
0 et -4 et -3 [-29 ; +∞[ , donc f(x)=0 admet une solution unique
dans ]-∞ ;-2] tel que -4 < < -3.
* f est continue et strictement croissante sur [-2 ;1] et f([-2 ;1])= [-29 ;1].
0 , -4 et -3 [-29 ;1] , donc f(x)=0 admet une solution unique dans [-2 ;1] tel que -4 <
< -3.
Par conséquent , f(x)=0 admet une solution unique dans tel que -4 <
< -3.
Non.
Tu n'as visiblement pas compris le fond du problème.
Pour montrer que f(x) n'a qu'une seule solution dans IR (qu'elle soit dans [-4 ; -3], on verra après) :
- Tu montres qu'il n'y en a qu'une seule dans ]-oo ; -2] en appliquant le corollaire du TVI
- Tu montres qu'il n'y en a pas d'autre ailleurs, c'est à dire dans [-2;+oo[
Enfin, tu prouves que cette solution est dans [-4 ; -3].
1) , soit
.
f est dérivable sur .
Donc ,
,
.
Donc f est strictement croissante sur [-2;1] et strictement décroissante sur ]-∞ ;-2] et sur [1 ;+∞[.
* Tableau de variation de f.
,
,
et
* f est continue et strictement croissante sur [-2 ;1] et f([-2 ;1])= [-29 ;-2].
0 [-29 ;-2] , donc f(x)=0 n'admet aucune solution dans [-2 ;1].
*f est continue et strictement décroissante sur [1 ;+∞[ et f([1; +∞[)=]-∞ ;-2].
]-∞ ;-2] , donc f(x)=0 n'admet aucune solution dans [1 ;+∞[.
Par conséquent , f(x)=0 admet une solution unique dans .
* f est continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; -2] et f(]-∞ ; -2])= [-29 ; +∞[.
0 [-29 ; +∞[ , donc f(x)=0 admet une solution unique
dans ]-∞ ;-2].
Par conséquent , f(x)=0 admet une solution unique dans .
* Comme , f est continue et strictement décroissante sur [-4 ; -3].
f(-3) × f(-4) = -18 × 23 = -414 < 0.
D'après le Corollaire du théorème des valeurs intermédiaire , f admet une solution unique dans tel que
]-4 ;-3[ ou encore -4 <
< -3.
on peut faire plus simple (que ce travail trop mécanique) :
le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
f est strictement décroissante de ]-oo, -2] sur [-29, +oo[ et 0 appartient à cet intervalle.
donc d'après le TVI l'équation f(x) admet une unique solution dans l'intervalle ]-oo, -2]
or f(-4) = ... et f(-3) = ... donc f(-3) < 0 < f(-4)
donc la solution de l'équation f(x) = 0 appartient à l'intervalle [-4, -3]
Citation :
le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 donc l'équation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Le minimum ?
Citation :
f est strictement décroissante de ]-oo, -2] sur [-29, +oo[ et 0 appartient à cet intervalle.
f est strictement décroissante de ]-oo, -2] sur [-29, +oo[ et 0 appartient à cet intervalle.
Oui , je vois bien la bijection réciproque de f.
Citation :
donc d'après le TVI l'équation f(x) admet une unique solution dans l'intervalle ]-oo, -2]
or f(-4) = 23 et f(-3) = -18 donc f(-3) < 0 < f(-4)
donc la solution de l'équation f(x) = 0 appartient à l'intervalle [-4, -3]
donc d'après le TVI l'équation f(x) admet une unique solution dans l'intervalle ]-oo, -2]
or f(-4) = 23 et f(-3) = -18 donc f(-3) < 0 < f(-4)
donc la solution de l'équation f(x) = 0 appartient à l'intervalle [-4, -3]
Je n'ai pas bien compris.
Toujours en accord avec carpediem ( (
) , je reprends tes remarques :
Citation :
Le minimum ?
Comment ça, le minimum ? Regarde le tableau de variations !
Le minimum ?
Et si le minimum était -2 , comment affirmer alors que f(x) = 0 n'a pas de solution ?
"le maximum de f sur l'intervalle [-2, +oo[ est -2 " signifie que f(x)
-2 sur [-2, +oo[ ... et donc f(x) = 0 ...etc ...
Citation :
Oui , je vois bien la bijection réciproque de f.
Ah bon ? Tu pourrais donner son expression ? (ça n'a pas d'intérêt ici)
Oui , je vois bien la bijection réciproque de f.
Citation :
Je n'ai pas bien compris.
C'est pourtant l'essence même de l'application du CTVI. A chaque fois tu donnes : f(a)*f(b) < 0 donc etc..." : cela signifie que f(a) et f(b) sont de signes contraires, et donc que 0 appartient à [f(a);f(b)], et donc que f(x)=0 admet etc...
Je n'ai pas bien compris.
Mais cette "méthode" ne s'applique que pour l'équation f(x) = 0 , alors que le TVI est valable pour toute équation du type f(x) = k compris entre f(a) et f(b).
Par exemple dans ton exercice, on aurais pu te demander de prouver que l'équation f(x) = 12 admet une unique solution dans IR : tu ne t'en serais pas sorti avec un "f(a)*f(b) = k" (sauf à changer de fonction naturellement).
Bonne journée
Bonjour,
Je crois que le sujet est plus ou moins clos.
Je me permets donc d'intervenir sur
Citation :
Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-
; -2[) ?
Ça n'est pas inutile, mais pas vraiment nécessaire.
Pour la question 1) , est il nécessaire de déterminer f(]-
; -2[) ?La fonction est décroissante sur ]-
; -2[ ; donc si Vu que f(-4) = 23, on a f(x) non nul si x < -4.
Bref, les limites en
ne sont pas nécessaires.
Sur [-4;-3], on utilise une conséquence (corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.
Ailleurs, c'est du niveau classe de seconde.
Il n'est pas interdit de s'appuyer sur un second tableau de variation en y insérant -4 et -3 dans la ligne des x, et 23 et -18 dans la flèche descendante de gauche.