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somme

Posté par
Disiz 14-09-19 à 21:48

Salut

Peut tu me donner l'idée pour trouver le resultat ? Merci

Montrer : \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n}\left[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) \sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}{n+1} \\ {i}\end{array}\right)\right]=2^{2 n
je ne sait pas commentr chercher


2)Calculer, pour tout  n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} : S_{n}=\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \dfrac{i}{j}
je pense que le j=2   mais aprés je trouve  deux la somme ?  \sum_{j=2}^{n}\left(\sum_{i=1}^{j-1} \dfrac{i}{j}\right)

Posté par
alb12re : somme 14-09-19 à 22:05

salut,
ce post n'a rien à faire dans le forum lycee.

Posté par
Disizre : somme 14-09-19 à 22:08

j ai mi reprise?

Posté par
Disizre : somme 14-09-19 à 22:10

tu connais comment le faire?

Posté par
Disizre : somme 14-09-19 à 22:20

Mon idée pour le 1 ces de le écrire  

\sum_{k=0}^{n}\left[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) \sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}{n+1} \\ {i}\end{array}\right)\right]-\left[\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)\right]^{2}=0

je trouve pas le simplification ?

Posté par
Disizre : somme 14-09-19 à 23:45

alb12

alb12 @ 14-09-2019 à 22:05

salut,
ce post n'a rien à faire dans le forum lycee.


salut comment tu fait pour le mettre dans le forum des superieurs le iles des mathématique refuse plusieurs fois le  sujet

Posté par
lafol Moderateurre : somme 14-09-19 à 23:53

Bonsoir
je l'ai déplacé

Posté par
perroquetre : somme 15-09-19 à 13:43

Bonjour,  Disiz.

Voici une indication assez longue pour la première question.

S_n= \sum_{k=0}^n \left[ {n\choose k} \sum_{i=0}^k {n+1\choose i}\right]     la somme dont on cherche la valeur
S_n= \sum_{p=0}^n \left[ {n\choose n-p} \sum_{i=0}^{n-p} {n+1\choose i}\right]    changement de variable   k=n-p
S_n= \sum_{k=0}^n \left[ {n\choose p} \sum_{i=0}^{n-p} {n+1\choose i}\right]     propriété des coefficients binomiaux
S_n= \sum_{k=0}^n \left[ {n\choose p} \sum_{j=p+1}^{n+1} {n+1\choose n+1-j}\right]       changement de variable   j=n+1-i
S_n= \sum_{k=0}^n \left[ {n\choose p} \sum_{j=p+1}^{n+1} {n+1\choose j}\right]      propriété des coefficients binomiaux
S_n= \sum_{k=0}^n \left[ {n\choose k} \sum_{i=k+1}^{n+1} {n+1\choose i}\right]       fin de l'astuce

Il ne reste plus qu'à additionner les deux expressions de S_n (celle de départ et celle de la fin) pour obtenir le résultat.

Posté par
perroquetre : somme 15-09-19 à 13:48

C'est encore moi.

Pour la deuxième question, tu avais fait la plus grande partie du travail puisque:

\sum_{i=1}^{j-1} \dfrac{i}{j} =  \dfrac{1}{j} \sum_{i=1}^{j-1} i =\dfrac{j-1}{2}

...

Posté par
Disizre : somme 16-09-19 à 21:59

Ok pour le 1 , je vais essayéer de etudier le astuce avec tous les changements.Tu pense le faire des la ligne 1 avec l'idée de Vandermonde j 'ai impression.

pour la 2 c 'est juste ok merci

donc \sum_{j=2}^{n} \dfrac{1}{j}\sum_{i=1}^{j-1} \ i=\quad \dfrac{1}{2} \sum_{j=2}^{n}(j-1)=\dfrac{n(n-1)}{4}

\forall n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, \quad S_{n}=\dfrac{n(n-1)}{4}

Posté par
Disizre : somme 16-09-19 à 22:38

Tu fais  le S_{n}=\sum_{p=0}^{n}\left[\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-p}\end{array}\right) \sum_{i=0}^{n-p}\left(\begin{array}{c}{n+1} \\ {i}\end{array}\right)\right]

a cause du symetrie je pense  \forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in\{0, \cdots, n\},\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-k}\end{array}\right)

oui c 'est longue ce calcul

Posté par
Disizre : somme 17-09-19 à 00:08

J ai compris le astuce  tu joue avec le symétrie jusqu a la fin, c'est très bien sa !

j ai trouvé autre chemin avec autre propriété k \in \mathbb{N}   
\left(\begin{array}{c}{n+1} \\ {k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k-1}\end{array}\right)

=\sum_{k=0}^{n}\left[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)\left(\sum_{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {i}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k}\end{array}\right)+\sum_{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)\right)\right]
=\sum_{k=0}^{n}\left[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)\left(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)+2 \sum_{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)\right)\right] \\

=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)^{2}+2 \sum_{0 \leqslant i<k \leqslant n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)  ?


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