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Niveau seconde
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Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel

Posté par
lalu28
28-08-14 à 19:09

Bonsoir,

Mon devoir est le suivant :

Démontrez que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

Voici ce que je trouve sur Internet :

"Soit a un nombre rationnel et b un nombre irrationnel
Il existe donc (p;q)€Z² premiers entre eux tels que a=p/q
Raisonnons par l'absurde et supposons que a+b soit rationnel
Il existe donc (r;s)€Z² premiers entre eux tels que a+b=r/s
Donc b=(r/s)-a=(r/s)-(p/q)=(rq-ps)/(qs)
Donc b est rationnel, ce qui est absurde
a+b est donc irrationnel"

Source : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/45830-irrationnel-3.html

Seulement je ne comprends pas cette démarche. Comment interviennent p et q et pourquoi élément de Z2 ?
De même pour r et s...

Bonne soirée,

lalu28

Posté par
sanantonio312
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:23

Bonsoir,
² est l'ensemble des paires d'éléments de .
Ça signifie donc juste que p, q, r et s sont des éléments de .

Posté par
lalu28
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:27

D'accord. Mais dans ce cas, pourquoi Z ? Pourquoi pas N ?

Posté par
weierstrass
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:28

Bonjour,
Z2 est l'ensemble des couples (a,b) avec a et b

Le principe d'une démonstration par l'absurde:
on suppose qu'une proposition est vraie, et on regarde si elle est cohérente.

Si elle n'est pas cohérente, alors elle est fausse.

Ici, la proposition est: pour a rationnel et b irrationnel, il existe une fraction telle que a+b soit égal à cette fraction.
Or, si cette propriété est vraie, alors b est forcément une fraction.
Comme on à supposé que b était irrationnel, b ne peut pas être une fraction, donc la proposition est fausse.
Donc la somme n'est pas rationnelle.

Posté par
weierstrass
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:29

Un nombre rationnel peut être négatif...

Posté par
lalu28
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:37

Merci, mais comment déduire de là que la somme n'est pas rationnelle ? Si a est rationnel et b irrationnel et qu'on a démontré que b n'était pas rationnel, la somme ne peut pas être rationnelle, c'est ça ? Alors est-ce par défaut qu'elle est irrationnelle ?

Posté par
sanantonio312
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:39

Si a+b=c est rationnel, b=c-a est une différence de rationnels.
Tu peut montrer facilement que c'est rationnel...

Posté par
weierstrass
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:40

La définition d'un nombre irrationnel, c'est qu'il n'est pas rationnel.
On vient bien de montrer que la somme n'était pas rationnelle...

Posté par
lalu28
re : Somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel 28-08-14 à 19:43

Oui je comprends. Merci d'avoir répondu et de m'avoir aidé aussi vite...



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