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Somme de cos(kx)

Posté par
matheux14
10-01-22 à 18:36

Bonsoir,

n est un entier de \N^* et x est un réel.

1) Calculer S_n = \sum^{n}_{k=0} \cos(kx)  et T_n = \sum^{n}_{k=0} \sin(kx).

2) Déterminer A_n = \sum^{n}_{k=0} C^{k}_{n} \cos(kx) et B_n = \sum^{n}_{k=0} C^{k}_{n} \sin(kx)

1) On a e^{ikx} = \cos(kx) + i\sin(kx) \Rightarrow  \sum^{n}_{k=0} \cos(kx)+i \sum^{n}_{k=0} \sin(kx) =  \sum^{n}_{k=0} e^{ikx}


S_n =\sum^{n}_{k=0} Re \left(e^{ikx}\right)=  \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(\dfrac{(2n+1)}{2}x\right)}{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}

T_n =\sum^{n}_{k=0} Im \left(e^{ikx}\right)=\dfrac{\text{cotan}\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2}-\dfrac{\cos\left(\dfrac{(2n+1)}{2}x\right)}{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}

2)Je dois calculer A_n = C^{n}_{k=0} \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(\dfrac{(2n+1)}{2}x\right)}{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)} \right) et B_n = C^{n}_{k=0}  \left(\dfrac{\text{cotan}\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2}-\dfrac{\cos\left(\dfrac{(2n+1)}{2}x\right)}{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}\right)

Une piste ?

Posté par
lake
re : Somme de cos(kx) 10-01-22 à 18:44

Bonsoir,

Même méthode qu'en 1) : tu peux développer (1+e^{ix})^n

Posté par
larrech
re : Somme de cos(kx) 10-01-22 à 19:07

Bonjour,

@matheux14

Fais attention ! Ce que tu as écrit en 2) " Je dois calculer..." est complètement faux. Tu fais une sorte de mise en facteur qui ne correspond à rien. C(n,k) n'est pas une constante.

Suis le conseil de lake

Posté par
Pirho
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 09:30

Bonjour à tous,

sauf erreur de ma part:

1) je pense que Sn et Tn sont faux

2) il manque une condition  sur les dénominateurs

Posté par
larrech
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 10:38

Bonjour Pirho,

Effectivement c'est faux. J'aurais dû vérifier.

Posté par
larrech
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 16:05

@matheux14

En fait tes calculs pour le 1/ sont exacts, cependant les résultats peuvent être encore "simplifiés".

Comme quoi, il vaut mieux refaire les calculs soi-même. Toutes mes excuses.

Posté par
Pirho
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 18:19

@matheux14 : sorry !

@larrech : effectivement en poursuivant le développement on retrouve les bonnes valeurs; par contre, je ne vois pas bien d'où sortent ses formules car , par exemple pour le cos on a,

\sum_{k=0}^n cos(kx)=\Re\dfrac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}=... à factoriser par les angles moitiés , simplifier et ensuite prendre la partie réelle

Posté par
lake
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 18:42

Bonjour,

Par exemple pour S_n, après réduction au même dénominateur dans la formule de matheux14 :

\text{Numérateur }=\sin\,\dfrac{x}{2}+\sin\,(2n+1)\dfrac{x}{2}=2\sin\,(n+1)\dfrac{x}{2}\,\cos\,\dfrac{nx}{2}

Posté par
Pirho
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 18:52

Bonjour lake

oui ça j'avais vu ; mais en partant de l' expression de mon post de 18:19, je ne vois pas où apparaît,  le 1/2

Posté par
lake
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 18:58

Il suffit de lire l'égalité dans l'autre sens puis simplification par \sin\,\dfrac{x}{2} non ?

Posté par
Pirho
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 19:01

oui d'accord pour l'expression de matheux14

mais quand tu pars de "mon expression" et que tu factorises directement par moitié, je ne vois pas où apparaît le 1/2

Posté par
lake
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 19:06

Il s'agirait de savoir ce qu'est "ton expression".

J'avais pour x\not=2k\pi,   A_n=\dfrac{\sin\,\dfrac{(n+1)x}{2}\,\cos\,\dfrac{nx}{2}}{\sin\,\dfrac{x}{2}}

Posté par
lake
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 19:08

C'est S_n, désolé...

Posté par
Pirho
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 19:18

je trouve la même chose que toi, mais ce que je veux dire c'est que dans le développement n'apparaît nulle par le 1/2
je suis parti de \dfrac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}=... j'ai factorisé par les angles moitiés , simplifié et ensuite pris la partie réelle

Posté par
lake
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 19:22

Ah ! D'accord, mais on passe facilement de ton résultat (ou du mien) à celui de matheux14 et inversement .
Je pense qu'il a obtenu notre résultat d'abord puis transformé

Posté par
Pirho
re : Somme de cos(kx) 11-01-22 à 19:56

Ah, oui!



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