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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Somme de formes quadratiques

Posté par
Quenitns33
24-02-21 à 15:45

Bonjour,

J'ai une question à laquelle je n'ai pas réussi à répondre qui est la suivante : "La somme de deux formes quadratiques définies positives est définie positive."
Je dois dire Vrai ou faux et justifier évidemment. Je pense que c'est vrai, mais je n'arrive pas à le prouver.
Je me suis renseigné à pleins d'endroits différents pour essayer de m'aiguiller, mais je n'avance pas.

Merci de votre aide.

Posté par
GBZM
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 15:58

Bonjour,

Que veut dire "définie positive" ?
À partir du moment où tu as la définition bien en tête, c'est assez immédiat.

Posté par
Quenitns33
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 15:59

Définie positive signifie que pour tout x, q(x) 0

Posté par
GBZM
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 16:07

Non, pas exactement. Donne la définition correcte, et ensuite applique-la à la question posée.

Posté par
Quenitns33
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 16:10

Oui pardon ça signifie que pour tout  x E \{0], f(x) > 0

Posté par
GBZM
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 16:15

Bien, maintenant applique à ton problème. Tu as deux formes quadratiques q_1 et q_2 deux formes quadratiques définies positives sur le même espace vectoriel réel E. Tu sais ce que ça veut dire.
Est-ce que q_1+q_2 est définie positive ?  (Je suppose qu'on ne te demande pas de démontrer que q_1+q_2 est une forme quadratique.)

Posté par
Quenitns33
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 16:17

En fait je vois bien que oui, mais je ne sais pas comment le prouver proprement. (En effet q1 + q2 est supposé être une forme quadratique)

Posté par
GBZM
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 16:19

On le prouve proprement en utilisant la définition que tu as rappelée. Retrousse-toi les manches et vas-y !

Posté par
Quenitns33
re : Somme de formes quadratiques 24-02-21 à 16:20

D'accord je vais m'y mettre
Merci !



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