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Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}

Posté par
zizou67
17-12-23 à 18:43

Bonjour je ne trouve aucune idée pour prouver que :

La somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} de 0 à n-1 avec n impair vaut :
= 1/3m(m − 1)(m^2+ m − 3).

Si jamais quelqu'un  a une idée elle est le bienvenue !

Posté par
GBZM
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 17-12-23 à 18:46

Bonsoir,
m=n ?

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 17-12-23 à 18:47

oui j'ai mal écrit

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 17-12-23 à 18:48

zizou67 @ 17-12-2023 à 18:43

Bonjour je ne trouve aucune idée pour prouver que :

La somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} de 0 à m-1 avec m impair vaut :
= 1/3m(m − 1)(m^2+ m − 3).

Si jamais quelqu'un  a une idée elle est le bienvenue !

Posté par
GBZM
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 17-12-23 à 20:03

Encore un n qui traîne.

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 17-12-23 à 20:26

oui je me suis trompé désolé il faut remplacer tout les n par m

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 10:32

Bonjour,
je remplace partout n par m puis je pose m=2n+1.

S_n=\sum_{k=0}^{2n}\tan^4\dfrac{(2k+1)\pi}{2n+1}=\sum_{k=0}^{n}\tan^4\dfrac{(2k+1)\pi}{2n+1}+\sum_{k'=1}^{n}\tan^4\dfrac{2k'\pi}{2n+1} après avoir posé k=n+k' pour la seconde somme.

En réunissant les deux sommes : S_n=2\sum_{k=1}^{n}\tan^4\dfrac{k\pi}{2n+1} puisque \tan^4 est paire.

D'autre part la formule de Moivre donne \dfrac{\sin (2n+1)x}{\cos^{2n+1}x}=(-1)^n(\tan x) P_n(\tan^2x)P_n est un polynôme unitaire de degré n dont les racines sont les a_k=\tan^2\dfrac{k\pi}{2n+1} pour 1\leq k\leq n.

Avec les relations entre coefficients et racines on calcule \sum a_k puis \sum a_k^2 d'où S_n=2\sum a_k^2.

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 13:59

Bonjour,
Je ne comprends pas comment  :
sin(2n+1)x/cos(2n+1)x = (-1)^n tanx Pn(tanx^2) ?

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 14:52

Au final j'ai calculé sin(2n+1)x/cos(2n+1)x et je trouve donc comme polynômes : somme de C(2n+1, 2p+1)*tan(px)^2(-1)^p avec p allant de 0 à n.
Mais maintenant je ne comprends pas comment les racines sont
tan(kpi/2n+1)^2 ?

Posté par
GBZM
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 15:11

Il semble que tu aies mal lu : au dénominateur, ce n'est pas \cos((2n+1)x), mais (\cos(x))^{2n+1}.

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 15:20

Oui effectivement dans le premier message j'ai mal lu mais le polynome que j'ai trouvé c'est bien avec cosx^(2n+1)

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 20:49

@zizou67
relis ce que tu écris car il y a des erreurs : ce n'estpas tan(px)^2 mais tan^{2p}x (le 2p est en exposant).

Pour calculer les racines du polynôme il faut résoudre l'équation \sin\,(2n+1)x=0 puis reporter les x trouvés dans tan^2x.

Posté par
zizou67
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 21:08

Pour la somme des racines je trouve (1/3)*n(2n-1) avec les formules de Viet, mais pour trouver la somme des carrées des racines j'avais pensé à utiliser le fait que par exemple x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx), donc en généralisant : le premier coeff au carré moins 2 fois le deuxième coeff, mais apparemment ça ne marche pas  

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} 18-12-23 à 23:31


zizou67 @ 18-12-2023 à 21:08

Pour la somme des racines je trouve (1/3)*n(2n-1) avec les formules de Viet, mais pour trouver la somme des carrées des racines j'avais pensé à utiliser le fait que par exemple x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx), donc en généralisant : le premier coeff au carré moins 2 fois le deuxième coeff, mais apparemment ça ne marche pas


C'est bien ça pour la somme des carrés des racines mais la somme des racines est fausse.

Dans le polynôme le coefficient de X^p est (-1)^pC(2n+1, 2p+1).



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