Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}, exercice de trigonométrie

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Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}
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zizou67  17-12-23 à 18:43
Bonjour je ne trouve aucune idée pour prouver que :

 La somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} de 0 à n-1 avec n impair vaut : 

 = 1/3m(m − 1)(m^2+ m − 3). 

Si jamais quelqu'un  a une idée elle est le bienvenue !
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GBZMre : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  17-12-23 à 18:46
Bonsoir,

m=n ?
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  17-12-23 à 18:47
oui j'ai mal écrit
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  17-12-23 à 18:48
zizou67 @ 17-12-2023 à 18:43

Bonjour je ne trouve aucune idée pour prouver que :

 La somme de tan^4{(2k+1)pi/n)} de 0 à m-1 avec m impair vaut : 

 = 1/3m(m − 1)(m^2+ m − 3). 

Si jamais quelqu'un  a une idée elle est le bienvenue !
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GBZMre : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  17-12-23 à 20:03
Encore un n qui traîne.
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  17-12-23 à 20:26
oui je me suis trompé désolé il faut remplacer tout les n par m 
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jandri re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 10:32
Bonjour,

je remplace partout n par m puis je pose .

 après avoir posé ' pour la seconde somme.

En réunissant les deux sommes :  puisque  est paire.

D'autre part la formule de Moivre donne  où  est un polynôme unitaire de degré n dont les racines sont les  pour .

Avec les relations entre coefficients et racines on calcule  puis  d'où .
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 13:59
Bonjour, 

Je ne comprends pas comment  : 

sin(2n+1)x/cos(2n+1)x = (-1)^n tanx Pn(tanx^2) ?
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 14:52
Au final j'ai calculé sin(2n+1)x/cos(2n+1)x et je trouve donc comme polynômes : somme de C(2n+1, 2p+1)*tan(px)^2(-1)^p avec p allant de 0 à n. 

Mais maintenant je ne comprends pas comment les racines sont 

tan(kpi/2n+1)^2 ?
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GBZMre : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 15:11
Il semble que tu aies mal lu : au dénominateur, ce n'est pas , mais .
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 15:20
Oui effectivement dans le premier message j'ai mal lu mais le polynome que j'ai trouvé c'est bien avec cosx^(2n+1)
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jandri re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 20:49
@zizou67

relis ce que tu écris car il y a des erreurs : ce n'estpas  mais  (le  est en exposant).

Pour calculer les racines du polynôme il faut résoudre l'équation  puis reporter les  trouvés dans .
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zizou67re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 21:08
Pour la somme des racines je trouve (1/3)*n(2n-1) avec les formules de Viet, mais pour trouver la somme des carrées des racines j'avais pensé à utiliser le fait que par exemple x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx), donc en généralisant : le premier coeff au carré moins 2 fois le deuxième coeff, mais apparemment ça ne marche pas  
  Posté par 
jandri re : Somme de tan^4{(2k+1)pi/n)}  18-12-23 à 23:31

zizou67 @ 18-12-2023 à 21:08

Pour la somme des racines je trouve (1/3)*n(2n-1) avec les formules de Viet, mais pour trouver la somme des carrées des racines j'avais pensé à utiliser le fait que par exemple x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx), donc en généralisant : le premier coeff au carré moins 2 fois le deuxième coeff, mais apparemment ça ne marche pas  

C'est bien ça pour la somme des carrés des racines mais la somme des racines est fausse.

Dans le polynôme le coefficient de  est .