Bonjour,

Sans essayer as-tu essayé avec les congruences ?

la somme des carrés de 1 à n vaut n(n+1)(2n+1)/6
si on a un carré parfait pour cette valeur, on doit chercher un k tel que k² = n(n+1)(2n+1)/6
autant dire que rien que l'écrire me donne mal à la tete.

C'est exactement à ceci que je pensais.

Salut Pr3dator

hello,
sous excel je ne peux pas aller plus loin que les 1 000 000 termes de jmaths

Je vois mal comment on peut s'en sortir avec des congruences. On peut peut-être faire des distinctions de cas sur la valeur de n mais ça ne va pas être coton je crois. Sur quelles valeurs particulières peut-on raisonner ? Merci de me faire part de vos idées !

N(N+1)(2N+1)=6a²

Peut-être en faisant une distinction des cas modulo ce que tu veux. Je n'ai pas le temps d'essayer désolé.

Comme n, n+1, et 2n+1 sont premiers entre eux (2à2), leurs décomposition en produit de nombre premiers est assez sympa (puisque si un nombre premier p apparait dans cette décomposition alors il divise un et un seul des trois facteurs).
Donc n, n+1, et 2n+1 sont de la forme 2x², 3y², z²(x,y,z premiers entre eux 2 à 2). Il faut trouver qui est qui...
J'ai pas mené la discussion, je sais pas non plus si ça aboutit, enfin c'est une piste...

Je viens de tester jusqu'à 5 000 000 (un peu plus de 15 minutes ...) mais j'ai peu confiance en ces résultats puisque le calcul exact sur les entiers ne peut pas dépasser une certaine limite ... Je vais essayer dans la voie proposée par Rodrigo.

J'ai réflechi un peu, il me semble qu'on peut prouver qu'il n'y a que 2 configuration possible (au plus)
n=2x², n+1=3y², 2n+1=z², ou n=z², n+1=2x², 2n+1=3y².
Peut etre peut on en éliminer une des deux...affaire à suivre

Au fait dnas le deuxième cas on a 1=2x²-z² ce qui constitue une equation de pell dont on connait les solution. Donc on doit pouvoir s'en sortir...

Il y a aussi le cas 6x², y², z² (qui se présente pour n = 24).