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Somme égale à pi

Posté par
Meiosis
10-04-24 à 12:42

Bonjour,

J'ai trouvé une formule intéressante :

\pi = 6*\sqrt{3} * (\frac{1}{2} * \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(3n + 1)} - \frac{\ln(8)}{18})

La constante \frac{ln(8)}{18} permet d'ajuster l'égalité.

Peut-on la prouver facilement ?

Posté par
malou Webmaster
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 13:00

Meiosis, tous tes messages sont sur le même modèle...

tu as trouvé ? où ? toi tout seul ? trouvé comment ?

Posté par
Meiosis
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 13:10

Tout seul grâce à de l'intuition et chat GPT.
Mais chatGPT ne fait pas tout le boulot, j'arrive à cerner parfois quelques idées que chatGPT ne me donne pas.

Ici il semblerait que la somme se simplifie en ln(2) ? Peu d'idée, j'ai du mal à simplifier.
Apparemment la somme se simplifie comme suit : https://math.stackexchange.com/questions/2515118/evaluating-sum-n-0-infty-frac-1n3n1

Mais quand j'injecte le résultat de la somme dans ma fonction ça ne marche plus.

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 13:51

Bonjour,

c'est un exercice classique au niveau L2 :

\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{(3n + 1)} =\int_0^1\dfrac1{1+t^3}dt=\dfrac19(\pi \sqrt{3} +3\ln2)

Posté par
Meiosis
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 14:07

Merci beaucoup jandri.
La formule semble vraie maintenant :

\pi = 6*\sqrt{3} * (\frac{1}{2} * \frac{1}{9}(\pi*\sqrt(3)+3\ln(2)) - \frac{\ln(8)}{18})

La constante \frac{\ln(8)}{18}) est-elle nécessaire ?

Posté par
Meiosis
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 14:08

Meiosis @ 10-04-2024 à 14:07

Merci beaucoup jandri.
La formule semble vraie maintenant :

\pi = 6*\sqrt{3} * (\frac{1}{2} * \frac{1}{9}(\pi*\sqrt(3)+3\ln(2)) - \frac{\ln(8)}{18})

La constante \frac{\ln(8)}{18}) est-elle nécessaire ? Car sans cette constante la formule est fausse. Peut-être qu'on peut simplifier un peu mais je n'y arrive pas.

Posté par
Meiosis
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 15:11

J'ai un peu simplifié la formule, est-ce intéressant ?

\pi = 6\sqrt(3)*(\frac{\pi}{18})*\sqrt(3)

Posté par
Meiosis
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 15:17

Finalement j'ai pu démontrer le résultat, sujet résolu, merci.

Posté par
lake
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 17:01

Bonjour,
En résumé, notre minuscule Ramanujan des temps modernes trafique avec chat GPT. Ceci explique cela ...
... en laissant la charge des preuves (quand ses conjectures sont avérées) à la charge des intervenants.
Je n'approuve pas.  

Posté par
Meiosis
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 17:16

Bonjour lake,

Je ne posterai plus. C'est vrai que c'est une démarche peu conventionnelle mais la théorie des nombres me passionne.

Sur ce, j'attends les réponses sur mon dernier poste concernant la constante d'Euler-Mascheroni et savoir si une telle formule existe déjà.

Posté par
lake
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 18:03

Citation :
C'est vrai que c'est une démarche peu conventionnelle

J'appelle ça une démarche malhonnête.

Posté par
malou Webmaster
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 20:12

Bonsoir
Et du coup, il s'est dépêché d'aller poster la même question sur un site voisin

Posté par
jandri Correcteur
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 20:40

J'ai bien aimé cette formule et la question qui l'accompagne :

Meiosis @ 10-04-2024 à 15:11

J'ai un peu simplifié la formule, est-ce intéressant ?

\pi = 6\sqrt(3)*(\frac{\pi}{18})*\sqrt(3)

Posté par
malou Webmaster
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 21:08

Posté par
lake
re : Somme égale à pi 10-04-24 à 21:17

Ah ! Merci jandri : je n'avais pas fait attention.
En général je ne tire pas sur l'ambulance mais c'est ici nécessaire.



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