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Somme telescopique

Posté par
Molotov79 04-04-19 à 22:45

Bonsoir je demande de l'aide pour mon exercice que voici
Ik-Ik-1=\frac{-e^{-1}}{k!}
on sait que Ik=\int_{0}^{1}{\frac{x^{k}e^{-x}}{k!}}dx
1.calculer I0 et montrer que In=1-\sum_{k=0}^{n}{\frac{e^{-1}}{k!}}

Merci

1.I0=1-e^{-1}
je sais que je dois faire une somme telescopique mais je me demande que poser ... ?

Posté par
Zormuchere : Somme telescopique 04-04-19 à 22:52

Bonjour

1-\sum_{k=0}^n \dfrac{e^{-1}}{k!}=1-\dfrac{e^{-1}}{0!}-\dfrac{e^{-1}}{1!}-\dots - \dfrac{e^{-1}}{n!}

Posté par
Molotov79re : Somme telescopique 04-04-19 à 22:52

Oui ?

Posté par
Zormuchere : Somme telescopique 04-04-19 à 22:56

\dfrac{e^{-1}}{0!},\quad \dfrac{e^{-1}}{1!},\dots \quad \dfrac{e^{-1}}{n!}
à quoi sont égales toutes ces fractions ?

Posté par
Zormuchere : Somme telescopique 04-04-19 à 22:57

plutôt  \dfrac{-e^{-1}}{0!},\quad \dfrac{-e^{-1}}{1!},\dots \quad \dfrac{-e^{-1}}{n!}

Posté par
Molotov79re : Somme telescopique 04-04-19 à 23:04

Ce que je propose
initialisation :triviale
heredite :Supposons In-1 vraie et demontrons que In l'est
In=In-1 -\frac{e^{-1}}{k!}
In=1-e^{-1}(\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{e^{-1}}{k!}-\frac{1}{k!}})
In=1-\sum_{k=0}^{n}{\frac{e^{-1}}{k!}}
et c'est fini .
Bon je ne comprenais pas trop ce que tu essayais de m'expliquer mais merci d'avoir essaye

Posté par
Molotov79re : Somme telescopique 04-04-19 à 23:09

n au lieu de k plutot dans les expressions

Posté par
Zormuchere : Somme telescopique 04-04-19 à 23:25

Oui, tu peux aussi le faire par récurrence, juste fais bien attention à ce que tu appelles l'hypothèse de récurrence dans ton raisonnement, parce qu'il neest pas bien structuré

Ce que je voulais dire c'est que
1-\sum_{k=0}^n\dfrac{-e^{-1}}{k!}~=~1-e^{-1}-\sum_{k=1}^n \dfrac{-e^{-1}}{k!} (je sors le terme de k=0)
= 1-e^{-1}-\sum_{k=1}^{n}{I_k-I_{k-1}}~=~1-e^{-1}+\sum_{k=1}^{n}{I_{k-1}-I_k}

=\underbrace{1-e^{-1}}_{=I_0}-I_0+I_1-I_1+I_2\cdots -I_{n-1}+I_n

au final tous les termes s'annulent sauf  I_n

Posté par
Molotov79re : Somme telescopique 04-04-19 à 23:32

2eme membre de la 2eme ligne heuu je ne vois pas

Posté par
lakere : Somme telescopique 05-04-19 à 00:08

Bonsoir,

Formellement:

  \sum_{k=1}^n(I_k-I_{k-1})=\sum_{k=1}^n-\dfrac{e^{-1}}{k!}=I_n-I_0

d'où: I_n=I_0-\sum_{k=1}^n\dfrac{e^{-1}}{k!}

  I_n=1-e^{-1}-\sum_{k=1}^n\dfrac{e^{-1}}{k!}

I_n=1-\sum_{k=0}^n\dfrac{e^{-1}}{k!} (avec la convention 0!=1).

Posté par
Molotov79re : Somme telescopique 05-04-19 à 00:22

Super lake a la rescousse , merci ahh ok mon k commence a 1


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