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Somme trigonométrique

Posté par
infophile 12-09-07 à 14:53

Bonjour

J'aimerais savoir si ce que j'ai fait répond à la question donnée, ou si on peut faire mieux

Citation :
Evaluer pour n\in \mathbb{N}\backslash \{0,1\} :

S=\Bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)\sin((k+1)\theta)


Ma réponse :

D'après les formules d'Euler on a : \sin((k+1)\theta)=\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{2i}=\frac{e^{ia}}{2i}\times [(e^{ia})^k-(e^{-ia})^k]

D'où S=\frac{e^ia}{2i}\[\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)(e^{ia})^k-\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)(e^{-ia})^k\]

Puis changement d'indice k'=n-k :

S=\frac{e^{ia}}{2i}\[\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)(e^{ia})^k-\Bigsum_{k'=n}^0\(n\\n-k'\)(e^{-ia})^{n-k'}\]

Et comme \(n\\k'\)=\(n\\n-k'\) et en posant k=k' on a :

S=\frac{e^{ia}}{2i}\[\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)1^{n-k}.(e^{ia})^k-\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)1^k.(e^{-ia})^{n-k}\]

Et d'après le binôme de Newton : \fbox{S=\frac{e^{ia}}{2i}\[(e^{ia}+1)^n-(e ^{-ia}+1)^n\]}

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:00

Bonjour Kevin

J'avoue ne pas avoir vraiment vérifié, mais c'est une méthode. Moi j'aurais attaqué par

\Large S=Im(\sum_{k=0}^nC_n^ke^{i(k+1)a})=Im(e^{ia}(1+e^{ia})^n)

et ensuite une recherche de partie imaginaire. Je ne suis pas sûre que ça soit meilleur!

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:14

Bonjour Camélia

Je vois pas trop comment m'y prendre avec ta méthode, je vais vérifier mon résultat avec quelques valeurs déjà.

Et de même je trouve que 3$ \rm \fbox{\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}sh(a+kb)=\frac{e^a}{2}\[(1+e^b)^n-(1+e^{-b})^n\]}

Merci !

Posté par
Camélia Correcteurre : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:17

Ok, ça ne fait rien, du moment que tu as des résultats tout va bien!

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:20

Sauf que apparemment c'est faux, ma calculette me donne une expression en i quand j'utilise ma réponse

Posté par
Camélia Correcteurre : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:23

C'est ta calculette qui va mal! Les deux expressions que tu cherches sont évidemment réelles!

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:27

Je veux dire que si je fixe n et a et que je calcule la somme donnée S puis la forme "explicite" que j'ai trouvé, la calculette ne donne pas le même résultat, elle met du "i" avec ma formule

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:32

Par contre pour ma deuxième somme (le sinus hyperbolique), j'obtiens dans un cas 800.97 et dans l'autre 800.43, normal ?

Merci

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:33

Euh j'ai oublié de préciser : en prenant a=1, b=2 et n=3

Posté par
Camélia Correcteurre : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:34

Pleure pas... Je viens de regarder ta formule, et il est vrai qu'elle n'est pas réelle! donc problème!

Alors ledit problème vient du début:

sin(e^{i(k+1)a)}=\frac{e^{i(k+1)a}-e^{-i(k+1)a}{2i}

mais si tu mets eia en facteur le deuxième terme est e-i(k+2)a
ce qui n'est pas sympa!

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 15:37

Pour ma deuxième somme ça a l'air bon, j'ai testé plusieurs valeurs, c'est sensiblement la même chose (comment expliquer cet écart ? )

Ah oui je n'avais pas fait gaffe au ia ! Je vais le laisser à l'intérieur alors et refaire mes calculs.

Merci

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 16:35

Ca ne va toujours pas, je trouve \frac{1}{2i}\[e^{ia}(1+e^{ia})^n-e^{-ia}(1+e^{-ia})^n\]

Avec \{n=3\\a=\frac{\pi}{4} je trouve dans un cas \frac{3\sqrt{2}}{2}+3 et dans l'autre 2\sqrt{2}+3

Posté par
infophilere : Somme trigonométrique 12-09-07 à 16:41

Non c'est bon


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