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sommes et séries

Posté par
shakazouloubis
19-03-17 à 15:11

bonjour ,

j'ai un problème avec une question d'un exercice :

On note pour tout entier n > 1, Sn = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k * ln(k) /k

montrer que S2n = 2\sum_{k=1}^{2n} ln(2k)/2k  - \sum_{k=1}^{n} ln(k)/k

indication: \sum_{k=1}^{2n} ... = \sum_{k=1}^{2n} ... +\sum_{k=1}^{2n} ....
                     ( avec k pair)    +   (avec k impair)


j'ai ainsi écris :        
S2n = \sum_{k=1}^{2n}  (-1)^2k * ln(2k)/2k
+ \sum_{k=1}^{2n} (-1)^2k+1 * ln(2k+1)/2k+1

mais quand je calcule les sommes j'ai un problème sur les derniers termes et je ne retrouve pas la forme initiale , je ne comprend pas non plus comment passer de la forme donnée par l'indication à la forme attendue ....


Merci d'avance pour votre aide, bon dimanche

Posté par
carpediem
re : sommes et séries 19-03-17 à 16:38

salut

que d'erreurs ainsi que dans l'énoncé ...

\sum_1^{2n} (-1)^k \dfrac {\ln k} k = \sum_{k  pair} \dfrac {\ln k} k - \sum_{k  impair} \dfrac {\ln k} k = \sum_1^n \dfrac {\ln 2k}{2k} - \sum_{k = 1 \red  et  k  impair} \dfrac {\ln k} k

Posté par
lake
re : sommes et séries 19-03-17 à 16:42

Bonjour,

Citation :
montrer que S2n = 2\sum_{k=1}^{2n} ln(2k)/2k  - \sum_{k=1}^{n} ln(k)/k


La première somme va plutôt de 1 à n:

S_{2n}=\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,2i}{2i}-\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,(2i-1)}{2i-1}

S_{2n}=2\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,2i}{2i}-\left(\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,2i}{2i}+\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,(2i-1)}{2i-1}\right)

S_{2n}=2\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,2i}{2i}-\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\,i}{i}

Posté par
carpediem
re : sommes et séries 19-03-17 à 16:48

je dirai que l'indice maximal de la deuxième somme est 2n ...

Posté par
lake
re : sommes et séries 19-03-17 à 16:52

Très juste !

Posté par
shakazouloubis
re : sommes et séries 19-03-17 à 17:37

Ha oui merci !!  effectivement je n'avais pas fais attention...

Posté par
carpediem
re : sommes et séries 19-03-17 à 20:43

shakazouloubis @ 19-03-2017 à 17:37

Ha oui merci !!  effectivement je n'avais pas fais attention...
voir mon premier msg ...



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