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Niveau Reprise d'études
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sous-anneaux

Posté par
louetcharles
11-07-23 à 14:32

Bonjour à tous ,

Soit un anneau A inclus dans un anneau B
Soit x un élément de B

J'ai du mal à noter explicitement le sous-anneau de B engendré par x et le sous-anneau de B engendré par A et x

Merci de m'aider

Posté par
GBZM
re : sous-anneaux 11-07-23 à 14:35

Bonjour,
Que veux-tu dire par "noter explicitement" ? Décrire explicitement, en donnant le forme des éléments ?

Posté par
louetcharles
re : sous-anneaux 11-07-23 à 16:43

Bonjour GBZM

Oui c'est ça !

Posté par
GBZM
re : sous-anneaux 11-07-23 à 19:11

Donne un peu le contexte dans lequel tu trouves ce problème, et ce à quoi tu as déjà réfléchi. Ça m'aidera peut-être à te donner une indication sans donner la réponse complète

Posté par
louetcharles
re : sous-anneaux 22-07-23 à 00:26

Bonsoir ,

Voici le c}1/2

On demande de décrire :

1) Le sous-groupe additif de Q engendré par alpha
j'ai répondu : { n fois (1/2)   n entier de Z }

2) l'idéal de Q engendré par alpha
j'ai répondu ; { (1/2) fois q    q élément de Q }

3) Le sous-anneau de Q engendré par alpha
{ somme des ak. (1/2)^k     ak entier de Z et k entier naturel }

4) Le sous-anneau de Q engendré par Z et alpha
{ a + (1/2)b   a et b entiers de Z }

5)La sous-algèbre de Q engendrée par alpha
Z [1/2 ] = {somme des ak (1/2)^k    ak entiers de Z et k entier naturel }

Voilà !

Merci de m'aider

Posté par
louetcharles
re : sous-anneaux 22-07-23 à 00:28

Excusez moi une coquille au début du précédent message

Voici le contexte , on a Z inclus dans Q et alpha = 1/2

Merci

Posté par
boninmi
re : sous-anneaux 22-07-23 à 17:58

Bonjour,

1) Oui. Tu peux utiliser des notations plus mathématiques:
{n/2 | n }

2) Que penses tu de la comparaison de ton résultat avec l'ensemble ?

3) Oui, là aussi tu peux utiliser des notations plus formelles et plus concises

4) Le produit de deux éléments de la forme que tu as donnée te semblent-ils encore faire partie de ce "sous anneau" ?

Posté par
louetcharles
re : sous-anneaux 09-08-23 à 19:08

Bonsoir , merci pour vos réponses .

Je vois qu'effectivement ma réponse à la 4) ne fonctionne pas mais je n'arrive pas à la corriger .

Je redemande de l'aide .

Merci

Posté par
GBZM
re : sous-anneaux 10-08-23 à 09:18

Bonjour,
Y a-t-il une différence entre 3) et 4) ,

Posté par
louetcharles
re : sous-anneaux 11-08-23 à 14:06

Bonjour ,

Je vois le 3 ) comme un polynôme où l'indéterminée est remplacée par 1/2 car c'est la famille des puissances de 1/2 qui engendre ce sous-anneau alors que je vois le 4 ) comme une somme de produits d'éléments de Z et 1/2 . Du coup le 4 serait somme des ak . (1/2) ^k   ak entier de Z et le 3 ) la même chose avec ak appartenant à Q .

Est- ce correct ?

Est-ce correct ?

Posté par
louetcharles
re : sous-anneaux 11-08-23 à 14:07

Excusez-moi , le " est-ce correct " s'est écrit deux fois

Posté par
GBZM
re : sous-anneaux 11-08-23 à 15:15

Non, ce n'est pas correct.
"le 3 ) la même chose avec ak appartenant à Q . "
D'où sort ce \mathbb Q ? Tu dirais donc que 3), c'est \mathbb Q.
Quand tu as une somme de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de 2, tu peux réduire au même dénominateur ...

Posté par
verdurin
re : sous-anneaux 11-08-23 à 20:26

Bonsoir,
si tu regardes l'ensemble \mathbb{D} des nombres ayant un développement décimal fini tu peux te poser les questions : Forment-ils  un sous anneau de \mathbb{Q} ?
Est-il égal à \mathbb{Q} ?



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