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Niveau Reprise d'études
Sous-groupes engendrés
Posté par Fractal
Bonjour,
Il y a une notion que je n'arrIve pas bien à appréhender.
Soit G un groupe et S une partie de G. donc jusque là rien ne dit que la partie S puisse être un sous groupe
L'intersection de tous les sous groupes contenant S est appelé sous groupe engendré par S.
Imaginons que la partie S du groupe G soit non vide, mais sans pour autant contenir l'Élément Neutre de G.
Des sous groupes de G peuvent contenir pour chacun d'eux la partie S ,plus d'autres éléments et aussi de facto l'élément neutre de G (sinon ce ne pourraient être des sous groupes). jusque là je ne me trompe pas, c'est bien possible ?
A présent si on fait l'intersection de tous ces sous groupes, on obtiendra un ensemble qui contiendra la partie S + l'élément neutre de G + peut-être quelques autres éléments (là pour quelques autres éléments je ne sais pas si c'est possible, je suis perdu)
Donc dois-je comprendre que c'est la présence de cet élément neutre qui confère à cette dite intersection de sous groupes la qualité à son tour de sous groupe ?
Suis-je à côté de la plaque ?
Vous remerciant.
Dans la plupart des cas rien ne dit que S union {e} soit un sous groupe.
Le sous groupe engendré par S est l'ensemble des éléments que t'es forcé de rajouter à S pour que ton ensemble devienne un sous groupe de G.
Bonjour
Prends des exemples simples pour comprendre...
par exemple dans (
,+)
avec S={6}
les sous-groupes contenant S sont ; 2 ; 3 ; 6
et donc le sous-groupe engendré par S est ...?
mais bon, le ss-groupe engendré par S doit contenir (au moins) :
6
6+6
6+6+6
etc.
-6
6-6
6-6-6
6-6-6-6
etc...
donc au moins tous les multiples de 6
et 6 est un sous-groupe...
donc ...
"le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux qui creusent... toi tu creuses !" 
(le bon, la brute et le truand - Sergio Leone)
Bonjour
Il faut faire attention, il peut exister des parties qui sont des groupes, mais pas des doud-groupes du groupe donné.
Par exemple si G est le groupe des matrices réelles inversibles muni de la multiplication, regarde l'ensemble des matrices de la forme
pour
Camélia, ton ensemble est bien un groupe. C'est juste pas un sous groupe de (Gln(C),x) !
L'élément neutre est ici
[1 0]
[0 0]
Bonjour
Fractal, de mémoire, les Vect(quelques vecteurs) ne te posaient pas (plus ? ) de problèmes ? C'est un peu pareil, ici, sauf qu'il n'y a qu'une loi interne et pas deux lois dont une interne ...
Fractal @ 22-01-2020 à 12:06
Pour l'instant je n'ai pas encore abordé les 2Z et cie.
Pour l'instant je n'ai pas encore abordé les 2Z et cie.
Comment aborder les groupes engendrées sans avoir fait les sous-groupes de Z ?
C'est le cours de ton prof qui est fait comme ça ou c'est de l'apprentissage personnel ?
Apprentissage personnel.
Et comme ce n'est pas moi qui ait le revolver, 
et bien je suis en train de creuser du côté de Z/nZ.
C'est très intéressant mais pour l'instant j'ai beaucoup de mal.
Ça parle de projection canonique, de congruence, de partition, de sous-partie, de sous-ensemble, d'idéal, de relation d'équivalence ....
Bref, tout un langage que je ne maitrise pas.
Oui c'est bien ce que je me disais .
Commence par les sous-groupes de Z puis de R .
Après groupes engendrés puis groupe quotient , et ensuite les groupes cycliques
difficile de bosser seul sur ce sujet sans un guide pour savoir par où commencer !
voici d'excellents ouvrages sur le sujet. 
j'ai eu cette personne comme prof en fac à la fin des années 70 et je peux dire que ses cours étaient complets, clairs, illustrés d'exemples... et je pense que ses livres sont de même...
apparemment ces livres ont l'air bien fait...
en témoigne le dernier message de ce fil où je les avais déjà conseillés : Incompréhension théorie de Galois
commencer par "éléments de la théorie des groupes", évidemment !
Bonjour Fractal,
En général, S n'est pas un sous-groupe de G, et je dirais le plus souvent.
En effet, si S est un sous-groupe de G, cette notion n'a pas d'intérêt, car le sous-groupe engendré par S est lui-même (le plus petit sous-groupe qui contient S) !
Je dirais que cette définition : "le sous-groupe engendré par S est le plus petit sous-groupe de G qui contient S" est une astuce pour dire qu'il contient tous les éléments de S, tous les inverses de ses éléments, tous ses produits, tous les produits de ses inverses, etc..., et rien d'autre ..., au pire on a G tout entier.
Ah ben merci coa347.
Vu sous un autre angle ça permet d'élargir la vision ....
Ça fait des trous dans la tête quand même ....
lionel52 @ 22-01-2020 à 11:03
Dans la plupart des cas rien ne dit que S union {e} soit un sous groupe.
Le sous groupe engendré par S est l'ensemble des éléments que t'es forcé de rajouter à S pour que ton ensemble devienne un sous groupe de G.
Dans la plupart des cas rien ne dit que S union {e} soit un sous groupe.
Le sous groupe engendré par S est l'ensemble des éléments que t'es forcé de rajouter à S pour que ton ensemble devienne un sous groupe de G.
Merci de cette indication.
Donc je prends une partie S non vide du groupe G.
S peut ou non posséder l'élément neutre de G.
Chaque élément de S a son symétrique dans S, ou pas.
Maintenant si je prends un sous-groupe de G, possédant l'intégralité de la partie S de G.
De facto il possède l'élément neutre de G.
De facto il possède les éléments symétriques relatifs à chaque élément inclus dans S.
En faisant l'intersection de la totalité des sous-groupes de G qui remplissent les conditions ci-dessus, effectivement ....
Puis comme
lafol @ 22-01-2020 à 17:57
Bonjour
Fractal, de mémoire, les Vect(quelques vecteurs) ne te posaient pas (plus ? ) de problèmes ? C'est un peu pareil, ici, sauf qu'il n'y a qu'une loi interne et pas deux lois dont une interne ...
Bonjour
Fractal, de mémoire, les Vect(quelques vecteurs) ne te posaient pas (plus ? ) de problèmes ? C'est un peu pareil, ici, sauf qu'il n'y a qu'une loi interne et pas deux lois dont une interne ...
Je pense à présent mieux comprendre.
Merci à tous.
Pour être certain de bien avancer, puis-je s'il vous plaît considérer la "chose" suivante ainsi :
est un groupe.
est une partie génératrice de ce groupe.
est un groupe qui possède donc une partie génératrice à un élément, c'est donc un groupe monogène.
Vous remerciant.
Rebonjour
Oui, c'est correct. A tout hasard je te fais remarquer que est aussi une partie génératrice.
Très bien. Il n'y a donc pas obligatoirement unicité pour la partie génératrice ...
Merci beaucoup Camelia.
Bonjour Zrun,
J'ai à présent le nez dans un poly au chapitre « Groupes quotients ».
Il me semble qu'on peut difficilement faire plus starbe comme approche pour te noyer en abordant cette notion ...
Voici le texte :
« Dans cette première partie, on étudie les interactions entre un groupe G et ses sous-groupes. »
Jusque là tout va bien, puis :
« On va pour cela définir une certaine relation d'équivalence. »
Pourquoi une « certaine » ? Une est suffisant non ?
puis la phrase immédiatement âpre :
« Nous allons maintenant définir deux relations d'équivalence sur un groupe arbitraire .... »
C'est moi qui ne vais pas bien ?
ok j'ai vu ....
tes deux relations d'équivalence n'en sont qu'une seule par symétrie vu que la loi n'est pas commutative ...
donc la "certaine" relation d'équivalence se décline en deux versions correspondant à la multiplication à droite ou à gauche ...