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Niveau maths spé
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sous K algèbre de C

Posté par
jersalh
04-10-22 à 20:25

bonjour les amis svp aider moi à résoudre ce problème
je commence par la première question
On designe par K un corps de C , par  α un nombre complexe non nul et par k[α]
la sous algèbre de la K algèbre C engendrée par  α  
on admet que l'application f_α K[X] vers C/ f_α(P)=P(α) est un morphisme de K algèbre
on suppose que que f_α est non injectif
on rappelle que K[X] est un anneau principal
une racine de P est dite multiple si sa multiplicité est supérieur ou égale à deux
1(a) justifier que K[α] =Imf_α(donc tout élément de K[α] est de la forme P(α) ou P appartient à K[X]

Posté par
carpediem
re : sous K algèbre de C 04-10-22 à 21:14

salut

un énoncé bien imprécis  et l'énoncé entier est préférable pour savoir où on va ...

jersalh @ 04-10-2022 à 20:25

On designe par K un sous-corps ?? de C , par  α un nombre complexe non nul et par k[α]
la sous algèbre de la K algèbre C engendrée par  α  

1(a) justifier que K[α] =Imf_α pas clair ...;(donc tout élément de K[α] est de la forme P(α) ou P appartient à K[X]
donc si je comprends bien :

tu as l'application  f : K[x] --> C(a)  (a pour alpha)
                                                 P  ----> f(P) = P(a)

quelle est la définition de K[x] ? de k[a] ?

Posté par
jersalh
re : sous K algèbre de C 04-10-22 à 22:08

Merci. Carpedie
Effectivement K est un sous corps de C
K[X] est l'ensemble des polynômes à coefficient dans K
k[α] la sous algèbre de la K algèbre C engendrée par  α

Posté par
carpediem
re : sous K algèbre de C 04-10-22 à 22:27

jersalh @ 04-10-2022 à 22:08

K[X] est l'ensemble des polynômes à coefficient dans K en la variable x
k[α] la sous algèbre de la K algèbre C engendrée par  α certes mais aussi ...
K[a] est l'ensemble des polynomes à coefficient dans K en la variable a

la variable a étant ici la constante a

il est donc alors immédiat que K[a] = Im f par le changement de variable x = a

Posté par
jersalh
re : sous K algèbre de C 04-10-22 à 23:01

, ai pas compris  comment il est  immédiat que K[a] = Im f par le changement de variable x = a

Posté par
jersalh
re : sous K algèbre de C 04-10-22 à 23:44

En fait j' ai pas compris pourquoi K[a] est l'ensemble des polynomes à coefficient dans K en la variable a

Posté par
GBZM
re : sous K algèbre de C 05-10-22 à 09:05

Bonjour,
K[a] n'est pas l'anneau des polynômes en la variable a, parce que a n'est pas une variable : c'est un élément de \C.

Posté par
jersalh
re : sous K algèbre de C 05-10-22 à 15:38

merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : sous K algèbre de C 05-10-22 à 21:01

Avec plaisir.



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