Niveau Reprise d'études

Sous variété, espace tangent

Posté par
Jepoti213 02-05-21 à 11:53

Bonjour voici ma question :

S={ $(x,y,z) \in R^3, 2(x+1)y + (x-1/2)z=0$ et $xy+2x=z$ }

1) S sous-variété de $R^3$ ? Dim S  ?
2) Déterminer l'espace tangent de S en (0,0,0)

1) en posant
$\begin{array}[t]{cccl}f  :&  \R^3 & \longrightarrow & \R^2 \\  & (x,y,z) & \longmapsto & (2(x+1)y + (x-1/2)z\,,\, xy+2x - z) \\ \end{array}$

J'ai montré qu'il s'agit d'une submersion telle que rg f = 2
Pour avoir la dimension de f, je n'ai pas trop d'idée mis a part utiliser le théorème du rang...

dim ker f + dim rg f = dim $R^3$

Donc dim ker f = 1 donc dim S = 1 ?

2) Je crois que vu que f est une submersion l'espace tangent de S en (0,0,0) est en fait le noyau de la différentielle de f  en (0,0,0) ?

Merci !

Posté par re : Sous variété, espace tangent 02-05-21 à 17:16

Bonjour Jepoti213,

Je suis pas expert sur le domaine mais voici quelques remarques.

• J'ai pu me tromper dans les calculs mais je trouve qu'aux points (-4/3, 0, z) on a la différentielle de f qui n'est pas surjective.. Donc localement f n'est pas une submersion. Mais c'est pas gênant car ces points ne sont localement pas dans S.
Lorsque que tu definis S sous variété par équation locale, i.e. à l'aide d'une submersion $f:R^n\rightarrow R^{n-p}$ , p désigne la dimension de la sous variété.
• Le théorème du rang s'applique pour des applications linéaire, ici f ne l'est pas.
• Et oui l'espace tangent (vectoriel) de S en (0,0,0) est le noyau de la différentielle en (0,0,0) d'une submersion.