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Spé math : petit problème de la "vie quotidienne"
Quelque temps avant la seconde guerre mondiale, un architecte du nom de Smith débarque en Australie et construit la première tour de la ville de Thiscityhasaveryshortname. L'année suivante, il construit une seconde tour ayant un étage de plus que la première. Chaque année voit ainsi la construction d'une nouvelle tour possédant un étage supplémentaire. Monsieur Smith constate que fin 1989, l'ensemble de ses tours possèdera au total 1989 étages. Quel est le nombre d'étages de la plus grande des tours?
La hauteur des tours est donc une suite arithmétique de raison 1, de premier terme N.
La somme des a premiers termes de cette suite, c'est
Sa = a N + a (a + 1)/2.
On cherche N / a N + a(a+1)/2 = 1989
a ( N+(a+1)/2) = 1989
N + (a+1)/2 = 1989 / a
Si a est impair, alors le premier terme est un entier.
1989 = 3*3*13*17
Pour que le deuxième terme soit un entier, il faut que a soit de la forme 3^x*13^y*17^z.
On sait de plus que a est aux alentours de 50.(1989- 1939).
a = 3*13 = 39. Trop petit
a = 3*17 = 51 est un bon candidat.
N = 1989 / a - (a+1)/2
donc N = 39 - 26 = 13.
Si a est pair :
Je sais pas, je vais me coucher..
Bonjour bosz28
Si tu désignes par "m" le nombre d'étages de la dernière tour construite et par "(n+1)" le nombre d'étages de la première tour, le nobre total d'étages construits vaut
Tu aboutis donc à
Sachant que m-n est légèrement supérieur à 50 (=1989-1939), les facteurs entiers qui conviennent sont :
ce qui conduit à
La plus grande des tours a 64 étages.
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