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Spé maths Matrices
Bonjour tout le monde, j'aimerais savoir si vous pouviez m'aider pour la finde cet exercice :
Soient et
deux suites réelles définies par
pour tout entier naturel n
1) Ecrire ce système matriciellement à l'aide d'une matrice A à préciser
2) a) Déterminer A^2,A^3,A^4 et conjecturer l'expression de A^n en fonction de n
b) Démontrer alors par récurrence votre conjectuure
3) En déduire alors que et
différent d'une constante à préciser
1) je trouve
(a_n+1) = ( 1 1 )( a_n )
(b_n+1) ( 0 2 )( b_n )
j'ai calculé A^2,A^3,A^4, et j'ai fait comme conjecture
A = ( 1 2^n-1 )
( 0 2^n )
Et je l'ai démontré par récurrence
Mais pour la dernière question, je ne sais pas comment faire ...
Est-ce que vous auriez des pistes à me donner s'il vous plait ?
Merci d'avance 
Bonjour,
c'est la mode ces histoires de récurrences linéaires par le calcul matriciel 
(ça fait au moins le 3ème exo "récent" là dessus)
montre (par récurrence, facile) que
(an) = An ( a0 )
(bn) ( b0 )
ça permet de calculer l'expression de an et de bn directement en fonction de n et de a0 et b0
puis de calculer an - bn et de le simplifier.
Nota : on devrait aussi pouvoir le faire par récurrence directe sur la définition des suites, mais le "en déduire" impose la méthode à partir de la matrice An
Bah il te suffit d'appliquer ta matrice au vecteur (ao, bo) initial
Ca te donnera an et bn et donc la reponse a ta question.
La constante devrait etre une combinaison de ao et bo, je n'ai pas fait le calcul
Je ne suis pas sure de bien comprendre
Donc on a
(a_n) ( a_o + b_o * (2^n -1) )
(b_n) = ( 2^n * b_o )
donc a_n = a_o + 2^n * b_o - b_o
et b_n = 2^n * b_o ?
Mais quelle est la constante dont parle l'énoncé ? En fait je ne suis pas sure de comprendre la question ... 
salut
c'est la mode ces histoires de récurrences linéaires par le calcul matriciel
(ça fait au moins le 3ème exo "récent" là dessus)
c'est surtout un énoncé bien artificiel et maladroit pour utiliser des matrices et montrer une troisième question qui saute aux yeux à la lecture de l'énoncé !!!!
il est évident que a_n - b_n est constant !!!!
il eut été plus raisonnable (mathématiquement parlant) que la troisième question soit "en déduire a_n et b_n en fonction de n ....
l'utilisation des matrices n'étant alors pas dépourvu d'intérêt (pour la pratique et apporter une méthode différente des classiques) ...
car la méthode classique est triviale vu que (b_n) est une suite géométrique ....
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