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Statistique
Bonjour à tous,
Voici mon problème
Soit (X1,...,Xn) un echantillon i.i.d. suivant la loi de poisson de parametre 1
sachant que 
Xi(de 1 à n)
suit une loi de poisson de parametre n et en utilisant le Th. centrale limite, montrez que :
lim(n
+
)exp(-n)(de k=0 à k=n) (nk/ k!)=1/2
Je n'arrive malheuresement pas à applique le TCL sur qqche de pertinent...
QQun à une solution, une explication, une piste ?
merci à tous d'avance.
Bonjour kermite
Utilise la caractérisation de la convergence en loi par les fonctions de répartitions et essaie d'abord d'identifier ta suite.
Kaiser
j'ai essayer d'appliquer le TCL sur mon echantillon..apres je bloque, et la suite c'est la proba de la loi de poisson de para. n, et je ne commprend pas que ce soit egale à 1/2 !
j'ai essayer d'appliquer le TCL sur mon echantillon..apres je bloque
D'abord, on va vérifier que l'on peut effectivement appliquer ce théorème.
Les variables sont indépendantes, de même loi et de carré intégrable donc on peut !
Ensuite, le théorème dit qu'une certaine variable aléatoire converge en loi vers une loi normale centrée réduite. Quelle est cette variable aléatoire ?
et la suite c'est la proba de la loi de poisson de para. n, et je ne commprend pas que ce soit egale à 1/2 !
c'est la limite qui vaut ça, pas la suite !
par ailleurs, pourrais-tu être un peu plus précise pour l'identification de cette suite (essaie de la voir comme une fonction de répartition évaluée en un certain point) ?
Kaiser
C'est ça !
Notons , alors d'après ce qu'on vient de dire :
.
Maintenant, je repose la question de tout à l'heure :
de quelle variable aléatoire est-il question dans le TCL ?
Kaiser
la variable aléatoire qui converge en loi vers la loi normale centrée reduite c'est
n1/2(S-1) ou S=Xi
d'après le TCL, il faut regarder la quantité
Dans ton cours, ton était peut-être déjà divisé par n peut-être, non ? D'où la confusion.
Kaiser
Au final, on a qui converge en loi vers une loi
.
À présent, il faut essayer de la faire apparaitre dans l'expression pour pouvoir utiliser la caractérisation de la convergence en loi par les fonctions de répartition.
Kaiser
j'ai trouvé !!! ... enfin je crois
Si je prend la fonction de repartition de cette variable en O , on constate que elle est egale à la fonction de repartition de Sn en n ! or puisqu'elle suit une loi normale centrée reduite, elle est egale à 1/2 !
Merci beaucoup Kaiser, tu as été très patient avec moi qui suis un peu dur de la feuille !
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