Niveau autre

[Statistiques] Estimateurs

Posté par Alev50 (invité) 20-04-06 à 19:36

Bonsoir,

Je bloque sur une question de statistiques. Voici l'énoncé du problème :

Soit X₁,...,X_n un échantillon de loi : f(x,a) = exp(-x) / (1-exp(-a)) * 1_[0,a](x)
où a > 0 est inconnu

1) Déterminer â_n l'estimateur du maximum de vraisemblance de a
2) A l'aide de V_n = exp(-â_n), trouver un estimateur sans biais de exp(-a) (on le notera T_n)

Pour la première question je trouve : â_n = sup_1<=i<=n(x_i)

Pour la deuxième, j'essaie de calculer l'espérance de V_n mais je trouve des formules bien compliquées à chaque tentative...

La densité de probabilité de â_n que j'ai trouvé c'est :
f_â[sub]n[/sub](x,a) = n * ((1-exp(-x)) / (1-exp(-a)))^(n-1) * exp(-x)/(1-exp(-a)) * 1_[0,a](x)

Si quelqu'un peut m'aider...

Posté par Alev50 (invité)re : [Statistiques] Estimateurs 21-04-06 à 17:03

Bon je m'en suis sorti.

On a : E[V_n] = exp(-a) + (1-exp(-a))/(n+1)
Donc : T_n = 1/n * ((n+1) * V_n - 1)

Je bloque sur la suite :

On pose : U_n = V_n^1/a. Montrer que la loi de U_n ne dépend pas de a.

J'ai calculé la loi de U_n, je trouve ceci :
f_U[sub]n[/sub](u) = (n*a)/(1-exp(-a))ⁿ * (1-u^a) * u^(a-1) * 1_[exp(-1),1](u)

On ne pe pas vraiment dire que c'est indépendant de a...

Posté par Alev50 (invité)re : [Statistiques] Estimateurs 21-04-06 à 18:20

Il n'y a pas de statisticiens parmi vous?

Posté par re : [Statistiques] Estimateurs 22-04-06 à 12:48

Es-tu sûr de la question 1) ? (je ne sais pas ce qu'est le maximum de vraisemblance)

Posté par Alev50 (invité)re : [Statistiques] Estimateurs 22-04-06 à 12:54

J'en profite pour corriger une petite erreur, je trouve :
$f_{U_n}(u) = (na)/(1-exp(-a))^n (1-u^a)^{(n-1)} u^{(a-1)} 1_{[exp(-1),1]}(u)$

N'y-t-il pas une autre manière d'interpréter cette question :
3) On pose : $U_n = V_n^{\frac{1}{a}}$ . Montrer que la loi de $U_n$ ne dépend pas de a.

Si personne n'a d'idées, je vais finir par penser que l'énoncé de mon DM est faux :/

Posté par Alev50 (invité)re : [Statistiques] Estimateurs 22-04-06 à 13:08

La vraisemblance associée aux variables $X_1,...,X_n$ de loi $f(x_i,a)$ est définie par :
$L(x,a) = \prod_{i=1}^n f(x_i,a)$

L'estimateur du maximum de vraisemblance $A_n$ est défini par :
$A_n = Argsup L(x,a)$ sur les valeurs possibles de a

On a :
$L(x,a) = \prod_{i=1}^n \frac{exp(-x)}{(1-exp(-a))} \prod_{i=1}^n 1_{[0,a]}(x)$

Pour que $L(x,a)$ soit maximum, on doit donc avoir :
$\prod_{i=1}^n 1_{[0,a]}(x) = 1$ soit, pour tout i, $x_i <= a$ avec a le plus petit possible donc $A_n = sup_{1<=i<=n}x_i$