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Niveau Maths sup
Structure algébrique : groupes,anneaux,corps...
Posté par verbatim74 (invité)
Bonjour
Voila je vous propose cette semaine 3 exercices, petits mais assez pointus.Serez vous les resoudre ?
Exercice 1 :
Soit n
2.
1) Prouver que si 2n-1 est premier alors n est premier
Dans ce cas, calculer la somme des diviseurs positifs de 2n-1x(2n-1)
2) Prouvez que si 2n+1 est premier alors n est une puissance de 2
Exercice 2 :
Pour tout n 
, on note Fn = (2^(2^n))+1(nombre de Fermat)
1)Calculer 
Fk pour k allant de 0 à n.
2) Prouver que si n
m alors Fn et Fm sont étrangers.
Exercice 3 :
Soit p un nombre premier.
1) Demontrer que si 0<k<p alors p divise p!/(k!(p-k)!) ( ou p k l'un en dessous de l'autre)
2) Demontrer que pour tout n
, p divise np-n (traiter le cas n)
3) Que peut on en deduire si de plus n n'est pas un multiple de p ?
Merci de m'aider
Cordialement
Posté par verbatim74 (invité)re : Structure algébrique : groupes,anneaux,corps...
Nightmare y arriverais tu ou es tu plutot calé suites ?
pour l'exo 1 il faut utiliser des petites identité algébrique "un peu astucieuse"...
1) suposons n non premier, n=dp (aec d et p different de 1)
(2^(dp)-1) =(1+2^d+2^(2d)+..2^(d(p-1))) * (2^d-1)
et comme p et d sont >1 2^n-1 n'est pas premier donc par contraposé tu as le résultat.
pour la somme des divisuer, et bien commence par lister ces diviseur (il doit y en avoir 2n, ou 2n-2 environ...) et fais ensuite la somme (tu va avoir deux sommes de suite géométrique...) normalement, tu trouve que la somme des diviseur est égal à deux fois le nombre !
2)
on suppose que n à un diviseur impaire (par forcement stricte)
n=iq avec i impaire.
1-2^q+2^(2q) - ... +(-1)^(i-1)*2^(i(q-1)) = (1-(-2^q)^i)/(2^q+1)
on en déduit que si i est impaire, (1+2^qi)/(2^q+1) est entier, donc 2^n+1 n'est pas premier des que n à un facteu impaire. n est donc neccesairement une puissance de 2.
Posté par verbatim74 (invité)re : Structure algébrique : groupes,anneaux,corps...
Pas mal j'avoue
Peut etre un peu simpliste mais l'astuce était a trouvé
Encore bravo
Et pour les 2 autres ?
le 2 me dit rien, je chercherai peut-etre plus tard.
le 3, est en revanche "un grand classique"
pour la premier, il y a plein de methode (environ une par facon d'exprimer les coeficient binomiaux ^^ )
la plus élegante est d'utiliser que p*C(p,k) = k C(p-1,k-1)
donc k divise p*C(p,k), or k est premier avec p, donc (gauss) k divise C(p,k).
le p|n^p-n, s'obtiens par récurence sur n si mes souvenir sont bon :
on a p|1^p-1 =0
on suppose n^p-n = 0 (mod p),
alors (n+1)^p-(n+1) = ... tu dévelope avec le binome de newton, et tous les coéficient intermédiaire sont nul modulo p a cause de la question précedente !
et tu retombe sur n^p + 1 ^p - n -1 = n^p-n = 0 mod p.
pour la dernière il s'agit juste de simplifier par n : si n n'est pas multiple de p, alors n est premier avec p, on peut donc en déduire que P|n^(p-1) - 1.
Bonsoir tout le monde
Une idée pour l'exercice 2:
Par conséquent
On en déduit que
Or Fm et Fn sont impairs...
