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Suite.

Posté par
matheux14
06-04-21 à 22:03

Bonsoir ,

Merci d'avance.

On considère la suite numérique U définie par u0 ∈ [0 ; 1] et \forall n \in \N , u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_{n}+1}{2}}.

1-a) Démontrer par récurrence que : \forall n \in \N , 0 \le u_{n} \le 1.

b) Démontrer que la suite U est convergente.

c) Déterminer la limite de la suite U.

2) On pose u_{0}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Démontrer par récurrence que :

\forall n \in \N , u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right).

Je bloque au niveau de la 2e question.

Posté par
Zormuche
re : Suite. 06-04-21 à 22:22

Bonjour

ll faut faire une récurrence, et utiliser la formule de duplication de l'angle du cosinus

Posté par
matheux14
re : Suite. 06-04-21 à 23:21

C'est ce que je n'arrive pas à faire..

Posté par
matheux14
re : Suite. 06-04-21 à 23:23

C'est ce que je n'arrive pas à faire..

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 06-04-21 à 23:24

bonsoir

essaye ! et montre ce que tu fais

Posté par
matheux14
re : Suite. 06-04-21 à 23:27

Duplication :

u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{2^{n+3.}}\right)

Posté par
ciocciu
re : Suite. 06-04-21 à 23:27

Salut
Il doit y avoir un truc avec la formule cos2a= 2cos2a   -1
En prenant 2a =x tu peux exprimer un cos x en fct de cos x/2

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 06-04-21 à 23:32

faudrait surtout commencer à écrire la récurrence proprement ... c'est pas juste une affaire de truc

Posté par
matheux14
re : Suite. 06-04-21 à 23:37

cos x = 2cos²(x/2) -1

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 06-04-21 à 23:40

la récurrence, cela t'évoque quelque chose matheux14 ?

et là c'est surtout

cos^2(a) = \dfrac{cos(2a)+1}{2}

qui va te servir !

Posté par
matheux14
re : Suite. 06-04-21 à 23:54

Soit Pn : << u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)>> \forall n\in \N.

* u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

P0 vraie.

* Soit k \in \Z. Supposons que Pk vraie ; c'est à dire u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right).

. u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)

Posté par
matheux14
re : Suite. 06-04-21 à 23:56

Citation :
cos^2(a) = \dfrac{cos(2a)+1}{2}

qui va te servir !


Comment celà pourrait me servir ici ?

Posté par
Zormuche
re : Suite. 07-04-21 à 00:29

ce sont deux quantités positives, on peut prendre leur racine carrée

Posté par
Zormuche
re : Suite. 07-04-21 à 00:29

et a et 2a, c'est pareil que a/2 et a

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 10:31

Oui , je sais.

u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)

Or cos²\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)

==>  cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 10:33

Merci.

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 11:09

tu ne peux pas partir de la conclusion ! là je ne vois pas de preuve concluante !

il faut apprendre à bien rédiger une récurrence ! pars de l'hypothèse de récurrence

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 11:11

HR : pour un certain k 0 on a :

u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right)

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 12:38

Je l'ai fait le 06-04-21 à 23:54

u_{k+1}=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+2}×2}\right)+1}{2}\right)}

=\sqrt{\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right)+1}{2}\right)}

u_{k+1}=\sqrt{\dfrac{u_{k}+1}{2}\right)}

C'est à dire Pk+1 vraie.
Pk vraie ==> Pk+1 vraie.

Conclusion : Pn pour tout n ∈ IN.

Posté par
PLSVU
re : Suite. 07-04-21 à 14:30

matheux 14   tu ne sembles lire les  messages  ...
alors lis ceci et applique
Raisonnement par récurrence
Soit  (Pn ) une propriété qui dépend d'un entier naturel n.

Si  les deux conditions suivantes sont vérifiées :

Il existe un entier n0 tel que P soit vraie

Pour tout n  supérieur ou égal à n0 :

          Si   Pn  est vraie,   alors  Pn+1  est vraie  
alors    
la propriété      (Pn   )     est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0

la première condition est  " l'initialisation "
la seconde  condition  est ""hérédité"
la dernière  partie est la conclusion

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:03

et il faut justifier proprement le passage à la racine

A²=B ne donne pas nécessairement A=B

Posté par
carpediem
re : Suite. 07-04-21 à 16:26

salut

et je ne suis toujours pas d'accord avec la démo de 12h38 ...

malgré nos remarques récurrentes   matheux14   ne semblent toujours pas en tenir compte ...

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 16:27

Citation :
matheux 14   tu ne sembles lire les  messages  ...



matheux14 @ 06-04-2021 à 23:54

Soit Pn : << u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)>> \forall n\in \N.

* u_{0}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

P0 vraie.

Initialisation

* Soit k \in \Z. Supposons que Pk vraie ; c'est à dire u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right).

. u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)


Citation :

u_{k+1}=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+2}×2}\right)+1}{2}\right)}

=\sqrt{\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right)+1}{2}\right)}

u_{k+1}=\sqrt{\dfrac{u_{k}+1}{2}\right)}

C'est à dire Pk+1 vraie.
Pk vraie ==> Pk+1 vraie.

Hérédité

Conclusion : Pn pour tout n ∈ IN.


cos²\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)

==>  cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)} ou cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=-\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

Comme u_{0}~\in ~[0 ;1] , cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:28

moi non plus je ne suis pas d'accord !

d'ailleurs c'est amusant, il prétend démontrer la donnée de l'énoncé

moi je laisse tomber, il ne lit pas nos remarques ... récurrentes

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:29

et c'est toujours n'importe quoi !

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 16:30

Qu'est ce qui n'est pas juste ?

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:31

* Soit k \in \N. déjà c'est et pas

Supposons que Pk vraie ;

c'est à dire u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right). donc ça c'est l'hypothèse


. u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)
et ça c'est ce que tu dois montrer

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:33

et

u_{k+1} = \sqrt{\dfrac{u_k+1}{2}}

c'est dans l'énoncé !!!

donc c'est une hypothèse dont on a le droit de se servir

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 16:47

Ah , du coup il doit y avoir un pb avec mon cours.

Parce que sur la récurrence j'ai ici :

Initialisation : On montre que la proposition P(n0) est vraie pour un certain n0  ∈  IN.

Hérédité : On montre P(k) vraie ==> P(k+1)  vraie.

On ne doit pas pas voir écrit : << On suppose P(k) pour tout k  ∈ IN>>.
Ceci signifie que vous supposez vrai ce que vous voulez démontrer.


Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:53

ben non, il n'y a pas de problème avec ton cours !

les maths c'est aussi du français !

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 16:55

quand on dit :

soit k un entier tel que P(k) est vraie

cela veut dire

supposons que P(k) soit vraie pour une certaine valeur de k

et ça ne veut pas dire

P(k) est vrai pour tout entier k

bref

on attend toujours une démonstration convaincante de l'hérédité !

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 16:59

matheux14 @ 06-04-2021 à 23:54

Soit Pn : << u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)>> \forall n\in \N.

* u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

P0 vraie.

* Soit k \in \N. Supposons que Pk vraie ; c'est à dire u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right).

. u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)


Donc k de IN et ça va ?

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 17:02

ben je sais pas, lis ton énoncé

Posté par
carpediem
re : Suite. 07-04-21 à 17:07

P(0) c'est P(0) et pas P(n) !!!!!!!!!!!

sot P(n) la proposition  u_n = \cos \dfrac \pi {2^{n + 2}}

u_0 = \dfrac {\sqrt 2} 2 d'après l'énoncé

\cos \dfrac \pi {2^{0 + 2}} = \cos \dfrac \pi 4 = \dfrac {\sqrt 2} 2

donc P(0) est vraie   (maintenant la proposition P(n) est correctement initialisée (au rang 0)

on va attendre encore un peu pour une vraie démonstration valide de l'hérédité ...

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 17:08

(oui, patientons !)

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 17:18

* Soit k \in \N. Supposons que Pk vraie ; c'est à dire u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right).

. u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)

Or cos²\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)

==>  cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)} ou cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=-\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

Comme u_{0}~\in ~[0 ;1] , cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(2\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)+1}{2}\right)}

cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)=\sqrt{\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right)+1}{2}\right)}


u_{k+1}=\sqrt{\dfrac{u_{k}+1}{2}\right)}.

C'est à dire Pk+1 vraie.

Pk vraie ==> Pk+1 vraie.

* Conclusion : Pour tout n ∈ IN , u_{n}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right)

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 17:20

toujours pas !

une fois de plus tu pars de ce que tu veux démontrer ... et tu aboutis à ce que te donne l'énoncé de l'exercice !

donc à refaire

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 17:25

Je ne vois pas comment refaire..

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 17:26

C'est pas possible ça

bon allez, dernier essai !

Supposons que Pk vraie pour un certain entier k ;

c'est à dire u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right).   donc ça c'est l'hypothèse dont tu dois partir


u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)   ça c'est ce que tu dois démontrer, donc la conclusion de l'hérédité

et enfin

u_{k+1} = \sqrt{\dfrac{u_k+1}{2}}

c'est dans l'énoncé !!!

c'est ce qui te permet de passer de uk à uk+1

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 17:33

u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right)

u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{(k+1)+2}}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right)

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 17:41

bon allez, moi je laisse tomber !

va falloir apprendre ce qu'on appelle une démonstration ...

bonne continuation

Posté par
matheuxmatou
re : Suite. 07-04-21 à 17:56

il va me rendre fou

matheux14 @ 07-04-2021 à 17:33

u_{k}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+2}}\right) ça c'est l'hypothèse

u_{k+1}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{(k+1)+2}}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2^{k+3}}\right) d'où sort cette affirmation ? c'est ce qu'on veut démontrer !

Posté par
carpediem
re : Suite. 07-04-21 à 18:01

et les griffes d'un matou en colère ça fait mal !!!

Posté par
matheux14
re : Suite. 07-04-21 à 18:03

Posté par
carpediem
re : Suite. 07-04-21 à 18:12

énoncé :  u_{n + 1} = \sqrt {\dfrac {u_n + 1} 2}   (1)

hypothèse de récurrence :  u_n = \cos \dfrac \pi {2^{n + 2}}   (2)

et tu n'es pas capable de prendre l'expression de u_n dans (2) que tu mets dans (1) ?



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