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suite

Posté par
leilaserad
18-09-21 à 12:50

Bonjour :
est ce que vous pouvez m'aider a faire cette exercice s'il vous plait.

Voici l'exercice:

Soit la suite(un) définie par u0=3
                                               un+1=2un-1

1. Calculez les cinq premiers termes de la suite

2. Démontrez par recurrence que , un=2n+1 +1

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : suite 18-09-21 à 12:53

salut

et alors ? question 1/ ?

2/ quelle est alors l'hypothèse de récurrence ?

que doit-on vérifier pour faire un raisonnement par récurrence ?

Posté par
hekla
re : suite 18-09-21 à 12:54

Que donnent les premiers termes ?

ne doivent être entre les balises que les indices, u doit être à l'extérieur

Vous le faites une fois sur deux presque

Posté par
leilaserad
re : suite 18-09-21 à 13:25

1. u0=3
     un+1=2un-1

u1= 2*u0-1=5
u2= 2*u1-1=2*5-1=9
u3= 2*u2-1=2*9-1=17
u4= 2*u3-1=2*17-1=33
u5=2*u4-1=2*33-1=65  

c'est ça ?

2. Je ne sais pas

Posté par
hekla
re : suite 18-09-21 à 13:39

De 0 à 5 cela fait 6 termes  donc les 5 premiers  s'arrêtent à u_4

comme d'habitude  u_0=2^{0+1}+1=3

u_k=2^{k+1}+1 et calculez u_{k+1} en tenant compte de la relation de récurrence et de la définition de la suite

Posté par
leilaserad
re : suite 18-09-21 à 14:28

d'accord merci don de u1 a u4 c 'est juste ?

et uk=2k+1+1
uk+1= 2k+2+1=2k+3

Posté par
hekla
re : suite 18-09-21 à 14:35

Oui, les calculs sont corrects suite

ensuite non  vous avez mélangé indice et exposant

hypothèse u_k=2^{k+1}+1

u_{k+1}=2u_k-1=2\times (2^{k+1}+1)-1= calcul à effectuer

Posté par
leilaserad
re : suite 18-09-21 à 15:46

= 21*2k+1-1
=21+k+1-1
=2k+2-1

C'est ça ?

Posté par
hekla
re : suite 18-09-21 à 15:59

Vous n'avez pas distribué


u_{k+1}=2u_k-1=2\times (2^{k+1}+1)-1=2\times (2^{k+1}+1)-1 =2^{k+2}+2-1=2^{k+2}+1


On retrouve bien la relation de récurrence

Posté par
leilaserad
re : suite 18-09-21 à 16:02

ca c'était l'hérédité ducout ? et l'initialisation ? et pour la conclusion il faut mettre que la proposition un+1 est initialisée pour n=0 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout naturel n c'est ça ?

Posté par
hekla
re : suite 18-09-21 à 16:17

Initialisation 13 :39
oui, 15 : 59, c'est bien pour l'hérédité

u_{n+1} n'est pas une proposition,  c'est un terme  de la suite

Soit p(n) la proposition p(n) : u_{n}=2^{n+1}+1

elle est vraie pour n=0  et  p(k) entraîne p(k+1) elle est donc vraie pour tout n

ducout non  du coup

Posté par
leilaserad
re : suite 18-09-21 à 16:22

merci beaucoup  pour votre aide je crois que c'est fini
aurevoir

Posté par
hekla
re : suite 18-09-21 à 16:27

de rien
bonne journée
à une prochaine fois sur l'île

Posté par
leilaserad
re : suite 18-09-21 à 16:41

bonne journée a vous aussi
merci a bientôt

Posté par
leilaserad
re : suite 19-09-21 à 13:59

Bonjour :
excusez moi je suis  entrain de recopier et pour l'exercice 3 je n'ai pas bien compris pour la question 2 est ce que vous pouvez regarder si c'est bien ça ?

Initialisation :
n=0 u0=3 u00
hérédité :
Supposons jusqu'à l'entier naturel k uk2k+1+1 et montrons que uk+12k+2+1

uk2k+1+1
uk+12uk-1
uk+12*(2k+1+1) -1
uk+12k+2+2-1
uk+12k+2+1

C'est juste ou il faut mettre un = a la place de

Posté par
hekla
re : suite 19-09-21 à 14:18

Supposons qu'il existe un réel k tel que u_k=2^{k+1}+1
et montrons que u_{k+1}=2^{k+2}+1

Confusion entre exposant et indice   on a = pas une inégalité

u_{k+1}=2u_k-1 définition de la suite (u_n)

=2\times (2^{k+1}+1)-1 remplacement de u_k en tenant compte de l'hypothèse de récurrence

=2\times (2^{k+1}+1)-1

Développement de la parenthèse  et simplification

=2^{k+2}+2-1=2^{k+2}+1

On retrouve bien la valeur de u_{k+1} en utilisant la relation de récurrence

J'ai réécrit, car  il était plus facile d'utiliser  \LaTeX pour écrire les égalités

Posté par
leilaserad
re : suite 19-09-21 à 14:27

merci beaucoup ducout pour l'initialisation je laisse comme sa ?

Posté par
hekla
re : suite 19-09-21 à 14:38

Non pour initialisation  il faut évidemment utiliser la relation  
pour n=0 \ 2^{0+1}+1=3=u_0
La relation est bien vraie


du coup, beaucoup  cela doit être un coût pour vous d'écrire coup

Posté par
leilaserad
re : suite 19-09-21 à 15:15

oui sa fait beaucoup a écrire mais cava aller
merci beaucoup de m'avoir aider
bonne fin de journée

Posté par
hekla
re : suite 19-09-21 à 15:22

S'il y a d'autres questions n'hésitez pas
Bon courage pour la rédaction
De rien
bonne journée



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