Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale IntégrationTopics traitant de Intégration [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

suite avec intégration 90

Posté par
Nelcar 27-04-21 à 11:35

Bonjour,
voici un exercice que j'aimerai faire mais....

Soit (In) la suite définie sur * par In=21 fn(x) dx où
fn(x)=enx² pour tout réel x de [1;2]
on a tracé ci-contre les courbes représentatives C1,C2 et C3 des fonctions f1, f2 et f3
1a) Emettre une conjecture sur le sens de variation de la suite (In)
b) démontrer cette conjecture
2 a) démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, Inen
b) en déduire la limite de la suite (In)

voici ce que j'ai commencé mais je coince
1 a) graphiquement, In représentel'aire, en u.a, de la surface. Son délimitée par la courbe Cn', l'axe des abscisses etles droites d'équations x= 1 et x= 2 pour n entier naturel non nul, Cn+1 est supérieure à l'aire Sn on conjecture que la suite (In) est croissante
b= soit n * pour tout réel x de [1;2], xn+1 -xn= xn(x-1).
je n'arrive pas à le démontrer je vois bien que xnxn+1

mais je suis perdue

MERCI

suite avec intégration 90

Posté par
heklare : suite avec intégration 90 27-04-21 à 11:41

b) c'est ce que l'on vient de voir dans un autre sujet

Posté par
Nelcarre : suite avec intégration 90 27-04-21 à 12:45

oui mais je suis perdue car ici c'est croissant et non décroissant

MERCI pour votre  aide

Posté par
heklare : suite avec intégration 90 27-04-21 à 13:05

Le problème  n'était pas celui-là ; croissant ou décroissant dépend du signe  de I_{n+1}-I_n

\\ I_{n+1}-I_n=\int_1^2\text{e}^{(n+1)x^2}\mathrm{d}x-\int_1^2\text{e}^{(n)x^2}\mathrm{d}x=\int_1^2\left(\text{e}^{(n+1)x^2}-\text{e}^{nx^2}\right)\mathrm{d}x

\text{e}^{(n+1)x^2}-\text{e}^{nx^2}=\text{e}^{(nx^2)}\times \text{e}^{x^2}-\text{e}^{nx^2}=\text{e}^{nx^2}\left(\text{e}^{x^2}-1\right)

Donc I_{n+1}-I_n= \int_1^2 \text{e}^{nx^2}\left(\text{e}^{x^2}-1\right)\mathrm{d}x

x>0   donc \text{e}^{x^2}>\text{e}^0

Il en résulte I_{n+1}>I_n

Posté par
Nelcarre : suite avec intégration 90 27-04-21 à 17:35

ok

2)a) démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, Inen

pour x de [1;2] en>0  et ex²>0 donc Inen
j'avoue que je suis perdue

et je ne sais pas non plus pour la limite

MERCI

Posté par
heklare : suite avec intégration 90 27-04-21 à 18:08

1\leqslant x\leqslant 2 \Rightarrow \text{e}^n\leqslant \text{e}^{nx^2}\leqslant \text{e}^{4n}

maintenant on prend les intégrales

\int_1^2  \text{e}^n\mathrm{d}x\leqslant \int_1^2 \text{e}^{nx^2}\mathrm{d}x\leqslant \int_1^2\text{e}^{4n}\mathrm{d}x \\

\int_1^2\text{e}^n\mathrm{d}x=\left[\text{e}^n x\right]_1^2=\text{e}^n

on a donc bien I_n \geqslant \text{e}^n

On se retrouve avec quelque chose qui est plus grand qu'un élément qui tend vers +\infty

je vous laisse la conclusion

Posté par
Nelcarre : suite avec intégration 90 27-04-21 à 19:50

je ne vois pas ce que je dois mettre comme conclusion

est-ce la limite

limite In= + infini
n+infini

MERCI

Posté par
heklare : suite avec intégration 90 27-04-21 à 20:04

Une suite qui est plus grande qu'une autre qui tend vers +\infty ne peut tendre que vers +\infty

voir comparaison de suites

Posté par
Nelcarre : suite avec intégration 90 27-04-21 à 20:06

ok
que faut-il que je mette donc

ma limite est donc bonne ?


MERCI

Posté par
heklare : suite avec intégration 90 27-04-21 à 20:25

Si pour tout n > N_0,  v_n>u_n   et \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty  alors \lim _{n\to+\infty}v_n=+\infty

Le théorème sur lequel on s'appuie    puis  pour tout n,\  I_n >\text{e}^n\quad \lim_{n\to +\infty}\text{e}^n=+\infty

Par conséquent \lim_{n\to +\infty}I_n=+\infty

Posté par
Nelcarre : suite avec intégration 90 27-04-21 à 20:51

OK

Merci beaucoup


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !