Hn+1=racinecarre(0,5Hn_n²+8) plutôt a la fin

S'il vous plaît ?

Je pense avoir trouvé pour la 2)a)
Démontrons que P(k+1) est vrai donc0<=Hk+1<=Hk+2<=8
Or 0<=Hk<=Hk+1<=8

0² <=Hk ² <=(Hk+1) ² <=8²

0,5*0² <=0,5*Hk ² <=0,5*(Hk+1) ² <=0,5*8²

0,5*0² +8<=0,5*Hk ² +8<=0,5*(Hk+1) ²+8 <=0,5*8²+8

<= <= <=

0<=<= <= <= <=8

Or =Un+1

Et =Un+2

Donc 0<=<=Un+1<=Un+2<= <=8
Donc P(k+1) est vraie
Il faut bien mettre <= partout et pas < ?

Personne ?

Pour la 1)b), si tu écris :

def f(n) :
    h=0
    for i in range(n) :
        h = h+1
    return h

Qu'est-ce que ça va retourner f(n) ?


Pour la 1)c), il suffit de mettre des "print" pour afficher les valeurs numériques. Tu vas a priori observer une convergence, et tu peux conjecturer la limite.

Pour la 2)a), ta démonstration fonctionne. Tu peux même montrer par récurrence que , et ensuite calculer et montrer que c'est positif.
Pour ce qui est des ou <, il faut bien comprendre ce que signifie ce que tu as écrit. Tu as composé chacun des membres des inégalités par des fonctions strictement croissantes.
Donc soit tu as des partout, soit tu as des < partout.
Ici on te demande des , donc tu peut mettre des partout.

D'accord merci !
Quand vous dites H+1
Vous voulez dire que je note racinecarré(0,5Hn^2+8) ?
comment on le note en python, racine carré ?

Et pour la 1)c) je ne devrai pas plutôt prendre plusieurs valeurs aléatoires par exemple 10 et 100, les entrer dans la fonction et voir vers quoi elle converge  puis je conjecture (il semble que...)
Il semble que...

Et pour la 2)a) j'ai bon mais vous dites une autre méthode mais je ne comprend pas d'où vient Hn<=4 ? Et Hn+1^2-Hn^2 ? Montrer que cela est positif est une autre façon de faire l'hérédité ?

J'ai trouvé ça pour la 1)b)
from math import *
def U(n):
  u=0
  for i in range(n):
    u=sqrt(0.5*u**2+8)
  return u

Mais il n'y a pas une méthode sans mettre from math import* pour pouvoir m'être la racine carré ?

Non, mon h+1 n'est pas en lien avec la suite définie dans l'exercice.
Ce que tu as proposé ensuite fonctionne, tu peux mettre

"from math import sqrt"

ce qui te permet de n'importer que la fonction racine, plutôt que toutes celles de la bibliothèque "math".


Pour la 1)c), ce que tu indiques ne contredit pas ce que je disais.
Par contre, j'aimerais préciser le vocabulaire.
Une conjecture est une assertion logique, du genre :

    Conjecture :
Soit la limite de la suite , alors .

Une conjecture peut être fausse.




Pour la 2)a), ce que je proposais se fait en 2 étapes :

1) montrer par récurrence

2) En déduire (pas forcément par récurrence),

J'ai mentionné cette possibilité, car elle me semble plus simple que ce que tu proposais.
Et pour montrer le 2), tu montres

D'accord merci

D'accord donc je peux faire ce que j'ai dis à la 1)c) ?

Mais comment est-ce que l'on sait que Hn est inférieur à 4 ?

Tu peux faire ce que tu as écris pour la 1)c).

Voici une solution alternative que je propose :

1) On a

Soit tel que .
Alors
Donc , d'où mon 1) par récurrence.


2) Soit , alors



Donc

D'accord merci mais pourquoi Hn<=4 et pas 5 par exemple ?

Pour la 2)b) il faut dire qu'elle est croissant (Un<=Un+1) et donc comme (Hn) est croissante elle est majorée par 8 ?
C'est tout ?

Mettre 4 fait que ça marche bien pour mon 2)

Pour la 2)b), j'ai l'impression que tu as écrit croissante majorée.
Est-ce que c'était une faute de frappe ?

Pour la 2)b) j'ai écrit Un au lieu de Hn
C'est Hn<=Hn+1
Donc comme la suite est croissante elle est majorée par 8 ?
Si elle aurai été décroissant elle aurait été minorée ?

Je ne suis pas sûr de ce que tu essayes de dire.
Dans le doute, je préfère préciser quelques points :

La suite est croissante mais pas majorée.
La suite n'est ni croissante ni décroissante.
La suite est croissante et décroissante.

La suite est croissante et majorée par 8 car tu l'as montré en 2)a).

A partir de là, pour montrer que converge, tu as peut-être quelque chose dans ton cours qui le donne (?).

Dans mon cours il est ecrit : Si une suite est croissante et majorée alors elle converge

C'est ça ?

Et bien... on te demande de montrer que converge.
Or tu as :
i) toute suite croissante et majorée converge.
ii) est croissante et majorée
Normalement tu peux être assez confiant dans ta conclusion.

D'accord donc c'est bien ça... je veux juste être sur pour chacune de mes réponses....
J'ai une question : Est-ce que une suite peut-être croissante et minorée ?
Car mon cours n'indique pas cela

Et à la question 2b) a quoi ça sert de dire qu'on note l la limite de la suite ?

Essaye de visualiser ce que signifie une suite croissante : quand tu places les points, ils sont tous plus grands que les précédents.

Essaye de visualiser ce que signifie une suite minorée : tu peux tracer une droite horizontale telle que les points de la suite ne la traverse jamais.

A partir de ça, tu peux imaginer une suite croissante et minorée.
Ou alors regarder dans les exemples que j'ai mis dans mon message de 22h20



Essaye de parler d'un nombre dont tu ne connais pas la valeur (c'est le cas de la limite de la suite ici).
Tu te rends assez vite compte que c'est efficace de la noter par une lettre.
Et pour que tout le monde utilise la même lettre, l'énoncé choisit de fixer la notation "l".

Ah d'accord merci je comprend mieux...donc à la 2b) en disant qu'elle converge je peut ajouter qu'elle converge vers l

Pour la 2)c) je ne vois pas trop quoi dire
Un et Un+1 converge tout deux vers l
Et donc Hn+1=l et Hn=l
C'est pour ça qu'on peut passer de Hn+1^2=0,5Hn^2+8 à l^2=0,5l^2+8 ?

Non, ce n'est pas ça, tu n'as pas l'égalité entre et .
Par exemple, la suite tend vers 0, mais tu n'as pas l'égalité.

Par contre, si tu as une fonction continue telle que . Est-ce que tu comprends le principe de faire tendre vers et écrire ?

Non je ne comprend pas trop, dans mon cours on a fait cet exemple (pour étudier  la convergence d'une suite), je mets les 2 première lignes de l'exemple, les lignes suivantes c'est autre chose  :
(Un) converge vers l
Or Un+1=0,6Un+20
(Flèches qui descendent de Un +1 vers l et de Un vers l)
l=0,6*l+20

Comment est-ce qu'on fait avec votre méthode ?

L'exemple que tu donnes correspond à ce que j'ai écrit avec .
Ce que j'ai écris est la version abstraite de ce que tu as vu en cours.


L'idée est de dire que si est continue, alors tu peux permuter le symbole et le symbole "limite", ce qui donne :

Donc si est telle que , alors tu as :
.

Cependant, je ne sais pas comment ces "flèches qui descendent" dans l'exemple que tu as donné ont été justifiées dans ton cours.
Est-ce que vous avez vu ce lien entre limite et fonctions continues ?

On a vu le lien entre suite et fonction comme par exemple dans la récurrence lorsque la fonction est positive, afin de déterminer si une suite est croissante ou non mais pas entre limite et fonctions

Les flèches qui descendent ne sont pas justifiés (enfin je ne pense pas)

Est-ce que c'est quelque chose à faire pour la rentrée ?

Et dans les exercices, où il y a la flèche, on a avant déterminé le minorant ou majorant de la suite, si elle est croissante ou décroissante et que la suite converge vers l puis il y a la phrase « On peut la déterminer en passant la limite dans l'égalité »
Puis la suite par exemple Un+1 qui passe à l

Oui

Si vous voulez on peut passer à la question suivante et on reviendra dessus à la fin...

Pour la 2)d€) j'hésite entre 2 choses :
Essayer d'enlever la puissance au carré à gauche mais je ne sais pas comment faire
Ou passer tout à gauche et utiliser delta
0,5l^2-8=0

Ton enseignant connaît certainement mieux le programme que moi, ce qui expliquerait pourquoi il n'est pas allé plus loin.

A priori, ton enseignant s'attend à ce que tu dises quelque chose du genre :
"En faisant tendre vers dans l'égalité , on obtient "

Je te présente néanmoins la notion de fonction continue, puisque c'est assez simple et extrêmement utile en maths :

On dit que est continue si pour tout et pour toute suite telle que , on a :

Ou encore

Pour , on considère et .

Admettons que et soient continues.

Tu as converge vers , donc . Et donc .
Puis .
Donc par unicité de la limite, on a

Où j'ai utilise l'unicité de la limite :

Si est une suite réelle qui converge vers et vers , alors .


Je regarde pour la 2)d) un peu après

Pour la 2)d), il tu peux aussi mélanger tes deux méthodes :

Tu as , donc comme tu l'as vu .
Là tu multiplies par 2, et tu trouves .
C'est équivalent à prendre un discriminant, mais c'est plus rapide.

Ah d'accord merci pour la notion
Les flèches signifient donc d'une certaine façon :
En faisant tendre n vers +infini dans l'égalité  ?

Ah d'accord merci je vais faire ça pour la d)

Pour la 3)a) il faut faire Gn+1-Gn ?

La flèche désigne la convergence :
, ou encore veut dire "la suite converge vers ".

Pour la 3)a), tu veux montrer que est géométrique, il faudrait plutôt calculer .

Ah non plutôt : Gn=Hn+1^2-16 ?

Pourquoi Gn+1/Gn ?
Il ne faut pas calculer le terme d'après ? En faisant
Gn+1= Hn+1^2-16 ?

Les deux approches sont équivalentes.

Une suite est dite géométrique de raison si

.

Dans le cas où est toujours non nulle, cela revient à dire que la quantité est indépendante de .

D'où ma proposition de calculer .
Dans le cas où l'expression de est compliqué, c'est souvent plus simple de regarder le quotient comme je le propose.

Ah d'accord...On connaît Hn+1 mais pas Hn donc on le laisse tel quel ?

(Hn+1^2-16)/(Hn^2-16)
Les -16 se simplifient ?
La puissance au carré annule la racine carrée
(0,5Hn^2+8)/Hn^2
Et après je ne sais pas (Je pense avoir faux)

Euh... les -16 ne se simplifient pas (il est tard j'imagine).
Je te laisse te corriger

(Hn+1^2-16)/(Hn^2-16)
(0,5Hn^2+8)-16/Hn^2 -16
0,5Hn^2-8/Hn^2 -16
Que dois-je faire après ?
Est-il possible que l'on termine cet exercice puis la suite demain s'il vous plaît ?

Tu as un polynôme en au numérateur et un au dénominateur.
Compare les coefficients : 0.5 et -8 / 1 et -16.
Tu remarques que passer de l'un à l'autre revient à multiplier à 2 (ou 1/2 dans l'autre sens)
Donc tu peux factoriser.

Comme ça (0,5Hn^2-8)/(1/2(Hn^2 -16)) ?

Dans l'autre sens. Tu as .
Et .

*  

Ah la fraction se transforme en une égalité en factorisant ?
Mais je ne vois pas où est le premier terme et la raison ?

0,5 est la raison et -8 le premier terme ?

Non, une fraction ne se transforme pas en une égalité comme ça.
J'ai simplement écrit deux choses vraies, en me disant que tu les regrouperais pour en déduire .
Il suffit de mettre ma seconde égalité dans ma première égalité.

0.5 est effectivement la raison.
Le premier terme est .
Je pense que tu parlais de .

En utilisant la méthode Gn=Hn+1^2-16
Ça aurait été plus rapide non ?
Car on sait que Hn+1^2=0,5Hn^2+8
Donc 0,5Hn^2+8-16
0,5Hn^2-8 ?