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suite comportant une intégrations

Posté par
TheForeigner 31-05-23 à 02:26

Bonjour, je n'arrives pas à un exercice de mathématiques.
La question est:
On pose I(i) n=∫de 0 à pi x^2cox(nx)dx pour n entier naturel.
Calculer I(i) n en fonction de n .
J'ai essayé une intégration par parrties mais je m'emboruilles.
Quelqu'un pourrais m'aider, donner des pistes de resolutions ?
Merci d'avance.

Posté par
Pirhore : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 07:06

Bonjour,

pourtant si c'est bien

\begin{aligned} \\ \\ I_n=\int_0^\pi x^2 cos(n x) \;dx \\ \end{aligned}

ça marche!

montre un peu ce que tu as fait

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 08:05

Bonjour,
Pour écrire les intégrales, on peut utiliser ce bouton sous la zone de saisie :
suite comportant une intégrations
Puis c'est le 2nd bouton orange à partir de la gauche. Descendre d'un cran.

Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 11:20

Bonjour!
Alors voilà ce que j'ai fais:
j'ai pris u'(x) = x^2 et v(x)= cos(nx)

J'ai: i n =  [\frac{x^3}{3}*cos(nx)]0àpi - [tex]\int_{0}^{\pi } \frac{x^3}{3}*nsin(nx)
Et c'est à que je ne comprends pas, est ce que je garde mon u'(x) et mon v(x) ou est ce que j'inverse les deux.

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 11:24

alors la formule ne c'est pas correctement mise, la voici corrigé:

[\frac{x^3}{3}*cos(nx)] 0 pi - \int_{0}^{\pi } \frac{x^3}{3}*-nsin(nx)dx

Posté par
carpediemre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 12:48

salut

l'intégration par parties s'applique à un produite de fonctions f * g

tu as donc deux façons d'intégrer : poser u = f et v' = g  ou  poser u' = f et v = g

à toi de voir ce qui se passe dans les deux cas ...

enfin ici il ne faut pas oublier qu'avec la fonction cos on "tourne en rond" puisque en dérivant deux fois on retombe sur cos (à un facteur près)

dans le cas présent je subodore qu'il faudra faire deux IPP ...

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 13:29

Rebonjour,
Personellement, j'ai fais avec u'(x) = cos(nx) et v(x)= x^2 car cela etait plus facile, j'ai testé l'autre c'est compliqué.
Ducoup, je me retrouve avec une intégrale:
\int_{0}^{\pi }( \frac{sin(nx)}{n})*2x dx
Et là, dois-je refaire une IPP ou alors autre chose ?
J'avais envisagé une IPP.

Posté par
carpediemre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 13:34

il faut refaire une IPP puisque tu as un sin

et qui fera réapparaitre I_n

il faut que tu arrives à la fin à un truc du genre : I_n = aI_n + b

où a et b sont des nombres constants (dépendant de n) mais tu peux isoler I_n (comme une équation d'inconnue I_n) et l'exprimer en fonction de n

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 13:43

Meerccii beaucoup ! Je vous tiens au courant des que je trouves la solution !

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 14:43

Je fais une IPP, mais voilà, là aussi, je m'embrouilles.
parce que, avec l'integrale -\int_{0}^{\pi } \frac{sin(nx)}{n}*2xdx

Je prends u'(x)=2x et v(x)=\frac{sin(nx)}{n},mais à la fin je trouves un truc bizarre, que I n = I n, sans a ni b car a=1 et b=0
et si je prends u'(x) = \frac{sin(nx)}{n} et v(x) = 2x je m'y perds. Pourriez vous m'aider ?

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 15:13

Si je fais u'(x) = \frac{sin(nx)}{n} et v(x) = 2x,
je trouve In = \frac{-2\pi*cos(n\pi) }{n^2} + \int_{0}^{\pi } \frac{2cos(nx)}{n^2}dx
et apres je ne sais pas quoi faire.

Posté par
carpediemre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 15:24

il faut prendre u(x) = x^2 au départ

et toujours ainsi pour faire descendre le degré du polynome jusqu'à ce qu'il disparaisse

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 15:30

u(x) c'est-à-dire la dérivé ou la fonction ?

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 15:50

Ah mais ducoup, ca veut dire que sur [0;\pi], I n est égal à 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 16:24

Bonjour,
A l'époque où j'étais étudiante, circulait un moyen mnémotechnique pour savoir ce qu'il fallait dériver en priorité.
Je crois me souvenir que c'était LPTE pour dire que ln était prioritaire sur polynôme, polynôme sur trigo et trigo sur exp.
A prononcer oralement pour le retenir plus facilement

Posté par
carpediemre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 16:31

comme le rappelle Sylvieg

carpediem @ 31-05-2023 à 15:24

il faut prendre u(x) = x^2 au départ

et toujours ainsi pour faire descendre le degré du polynome jusqu'à ce qu'il disparaisse
et donc v'(x) est l'autre facteur

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 16:46

Merci beaucoup !!!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 16:50

Que trouves-tu finalement ?

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 17:00

Je trouves que I n = 0, est ce le bon résultat ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 17:33

Non.
Je reprends tes résultats.
A 13h29

Citation :
Ducoup, je me retrouve avec une intégrale:
\int_{0}^{\pi }( \frac{sin(nx)}{n})*2x dx
Il y a un "-" devant.
Pour simplifier, noter Jn cette nouvelle intégrale.
In = -Jn.
A 15h13, tu trouves
Citation :
Jn = \frac{-2\pi*cos(n\pi) }{n^2} + \int_{0}^{\pi } \frac{2cos(nx)}{n^2}dx
J'ai remplacé In par Jn.
Il faut mettre des crochets autour de \frac{-2\pi*cos(n\pi) }{n^2} avec les bornes 0 et .
Et calculer l'intégrale en utilisant une primitive pour cos(nx).

Au fait : Bravo pour les écritures des intégrales avec LaTeX

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:07

J'ai donc essayé avec ce que vous m'avez dis de faire,
je trouve I n = \frac{-2\pi *cos(n\pi )}{n^2}
est ce cela ? et merci du compliment

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:11

Pas mal !
Il reste à simplifier cos(n)

Le LateX de l'île a un défaut que tu auras peut-être remarqué :
La taille lilliputienne des fractions.
Pour les obtenir d'une taille normale, il faut rajouter un d devant le frac.

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:17

Alors, cela me fais: I n = \dfrac{-2\pi *(-1)^n}{n^2}
C'est alors la réponse ?
Et merci pour le conseil !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:20

Tu peut même enlever le moins en modifiant l'exposant de -1

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:25

C'est-à-dire ? Je ne comprends pas comment on peut modifier :/

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:37

(-1)(-1)n = (-1)??

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:47

cela fait (-1)^n+1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:48

Vois-tu le rapport avec l'écriture de In ?

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:50

alors j'avoues que pas vraiment

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 18:57

-A = (-1)A ; donc -(-1)n = ...

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:13

aaahhh donc -(-1)^n = (-1)^n+1
et donc In = \dfrac{2\pi *(-1)^n+1}{n^2}

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:15

enfin (-1)^n+1 je voulis dire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:16

Un petit raté avec LaTeX : In = \dfrac{2\pi *(-1)^{n+1}}{n^2}

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:17

oui ^^'
en tout cas, merci beaucoup pour votre aide !
Passez une bonne soirée !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:19

D'accord !

N'oublie pas que dans d'autres exercices tu tomberas peut-être sur ce que carpediem a indiqué à 13h34 :

Citation :
un truc du genre : I_n = aI_n + b
Dans ce cas, il ne faut pas se décourager et le traiter comme une équation X = aX + b.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:20

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:21

Merci pour le conseil !!! :D

Posté par
alb12re : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 19:25

salut,
en passant je pense qu'il y a une petite erreur de signe

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 20:42

Bien vu alb12

TheForeigner a peut-être oublié de passer de Jn à In : In = -Jn.
Ça lui aura fait des révisions utiles sur les exposants avec (-1)n.

Posté par
TheForeignerre : suite comportant une intégrations 31-05-23 à 22:29

Alors oui ! Justement j'avais vu que j'avais fais une erreur dans les signes :/, je me suis donc corrigé,
j'ai donc I n = \dfrac{2\pi *(-1)^n}{n^2}

Posté par
Pirhore : suite comportant une intégrations 01-06-23 à 19:37

Bonjour à tous,

merci à ceux qui ont pris  le relais en mon absence !


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