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suite d'intégration

Posté par
Nelcar 27-04-21 à 09:54

Bonjour,
Le prof nous a demandé de lire une page de notre livre et de faire les exercices résolus du livre mais le problème c'est que dans le corrigé il y a la réponse sans justification et je ne comprend pas tout.
Voici l'exercice :
Soit (In) la suite définie sur * par In=10 xn sin(x) dx
1 a) montrer que, pour tout n de *,
In+1 - In =10 xn sin(x)(x-1) dx
b) en déduire le sens de variation de la suite (In)
2) justifier que pour tout réel x de [0;1], et pour tout n de *,
a)0xn sin(x)xn
b) 0In1/(n+1)
3) déterminer la limite de la suite (In)

1a) In+1 - In =10xn+1 sin(x) - xn sin(x)dx
=10 xn sin(x)(x-1) dx

j'ai du mal pour cette dernière ligne , n'y a t-il pas plus de détails ? MERCI

pour le b) c'est noté xnsin(x)(x-1)0
merci de m'expliquer ceci aussi

MERCI

Posté par
heklare : suite d'intégration 27-04-21 à 09:59

Comment allez-vous ?

x^{n+1}-x^n=x^n(x-1)

Posté par
heklare : suite d'intégration 27-04-21 à 10:01

Vous prenez l'intégrale entre 0 et 1 donc x\leqslant 1. Il en résulte  x-1 \leqslant 0

Posté par
Nelcarre : suite d'intégration 27-04-21 à 10:22

Bonjour Hekla,

ça va (à part que j'ai un cousin décédé du covid à 70 ans) et vous ça va ?

je vois bien qu'il y a xn de commun donc on peut factoriser  mais j'ai du mal avec xn+1) donc ça veut dire que xn+1 = xn*x  j'avoue que je ne comprend pas
MERCI

POUR le 2)
a) le corrigé met pour x de [0;1],0sin(x)1 et xn
0 donc 0xnsin(x)xn
merci de m'expliquer

b) 0In10xndx  donc 0In1/(n+1)

merci de m'expliquer

MERCI

Posté par
heklare : suite d'intégration 27-04-21 à 10:39

Propriété des puissances a^n\times a^p=a^{np}

donc x^{n+1}=x^n\times x^1= x^{n}\times x

Si 0\leqslant x\leqslant1\leqslant \dfrac{\pi}{2} alors \sin 0 \leqslant \sin x \leqslant \sin 1\leqslant \sin \dfrac{\pi}{2},

la fonction étant croissante sur cet intervalle.

\sin 0=0 et \sin 1\leqslant 1

0\leqslant \sin x \times x^n \leqslant x^n

Maintenant on intègre

0\leqslant I_n\leqslant \int_0^1x^n \mathrm{d}x

\int_0^1x^n \mathrm{d}x=\left[\dfrac{1}{n+1} x^{n+1}\right]_0^1= \dfrac{1}{n+1}

d'où le résultat

Posté par
Nelcarre : suite d'intégration 27-04-21 à 10:50

ok

mais dur dur

MERCI BEAUCOUP

Posté par
heklare : suite d'intégration 27-04-21 à 11:07

Bon courage, cela va revenir


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