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Niveau Maths sup
Suite de Fibonacci
Posté par PaulfuturMPSI
Bonjour à tous, je suis en train de faire les exercices proposés par Louis Le Grand, de transition entre la TS et MPSI. J'ai rencontré un problème à un exercice, je vous demande donc un raisonnement à suivre pour une question :
Exercice 9 (D).
La suite (Fn)n≥0 est la suite de Fibonacci définie par : F0= 0, F1= 1 ; ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 +Fn et on a démontré que Fn=(α^n−β^n)/(racine de 5) avec α=(1+racine de 5)/2 et β=(1-racine de de 5)/2.
Pour n dans N, on pose :Δn= FnFn+2 −Fn+1²
a) Calculer Δn pour quelques valeurs de n. Deviner une formule donnant
Δn et démontrer cette formule par récurrence.
La réponse est Δn=(-1)^n
Seulement, j'ai calculé les termes de rang 0,1 et 2 de Δn et ait trouvé Δn=(-1)^n+1. J'ai refais les calculs plusieurs fois, tout vérifié mais je reste bloqué. Je dois sûrement faire une erreur débile, surement une histoire de décalage n/n+1, si qqn pourrait refaire les calculs pour moi ça m'arrangerait beaucoup. J'aurais également besoin des raisonnements à utiliser pour cette récurrence.
Merci.
Salut
Tu as raison. C'est l'identité de Cassini, selon wiki http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
Bonjour
C'est toi qui as raison... (en supposant que c'est ce que tu voulais écrire... et non ce que tu as écrit)
Pour la récurrence, aucune difficulté... Pose dans l'égalité à prouver et vas-y!
salut
même pas besoin de récurrence ...
dans 
remplacer F(n+2) par son expression en fonction de F(n+1) et F(n) puis les remplacer eux-mêmes par leur expression en fonction du nombre d'or ....
ce me semble-t-il ....
bonjour,
j'étais aussi parti en démonstration directe, qui marche toute seule aussi, mais les 3 lignes de la récurrence sont plus sympas finalement 
Hello carpediem
... si tu as envie de faire ces calculs... c'est aussi une méthode! Mais la récurrence se fait toute seule!
tant mieux alors ...
il me semble que dans la démo directe ... tout est dans l'art de bien factoriser ....
peut-être même garder en fait F(n+2) pour avoir des somme "d'exposants en 2n + 2" ...
Merci les gars j'ai réussi ! En fait mon résultat ne concordait pas avec l'énoncé donc je me suis arrêté là. Je vais continuer les exos de llg et si qqn veut les faire avec moi cet été ça peut être intéressait qu'on ait un contact skype par exemple.
Juste une dernière question : je n'arrive pas à passer de 5Δn=(α^(n+2)−β^(n+2))(α^n−β^n)−(α^(n+1)−β^(n+1))² à
5Δn= (αβ)^n(α−β)²
On sait que αβ=1. Comment faire ?
Développe tout, simplifie les termes qui s'annulent, et tu doit pouvoir factoriser ce qui reste par . Mais c'est la méthode directe et un peu bourrin. Tu devrais suivre le conseil de Camélia et juste faire la récurrence en utilisant la relation entre
,
et
.
Le mieux c'est de faire les deux, comme ça tu verras qu'une bonne idée ça épargne pas mal de calculs