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Suite de Fibonacci

Posté par
QuentinDelon1
11-04-21 à 09:56

Bonjour !
Voici mon sujet  :

On appelle suite de Fibonacci la suite (un) définie par : u0 = 0  u1 =1 et un+2 = un+1 +un
Avec n et un entier naturel

1)a Calculer les termes de la suite jusque u10
b) Que peut-on conjecturer sur pgcd(un,un+1) pour tout n entier naturel non nul ?

On peut conjecturer que pgcd(un,un+1)  =1

2) On défnit (vn) par vn=un²-un+1 x un-1 pour tout n entier naturel non  nul
a) Démontrer que Vn+1 = -Vn

A l'aide d'un raisonnement par récurrence, c'est bon.

Cependant je n'arrive pas ces 2 dernières questions :

b) En déduire que un² - un+1 x un-1 =(-1)n-1
c) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1b)

Je n'arrive pas à prouver la 2b) et à l'aide de cette égalité, je ne comprends pas comment prouver que pgcd(un,un+1)=1

Merci de votre aide !!

Posté par
ty59847
re : Suite de Fibonacci 11-04-21 à 10:31

Dans la question 2a, tu as démontré que la suite (vn) prend alternativement 2 valeurs opposées.
Calcule v1 ou v2 ... et tu vas constater que ces 2 valeurs opposées, c'est 1 et -1. Et c'est (quasiment) fini pour la question 2b.
Pour la question 2c, peux-tu donner le nom du théorème qui va nous sauver ?  Et l'énoncé de ce théorème, bien sûr.

Posté par
matheuxmatou
re : Suite de Fibonacci 11-04-21 à 15:22

bonjour

et puis , si tu ne sais pas mettre des indices, mets des parenthèses

un+1 est ambigu... est-ce un + 1 ou un+1 ?

alors suivant le cas, note u(n)+1 ou u(n+1)

et visiblement tu sais mettre les puissances, alors mets les indices correctement

Posté par
QuentinDelon1
re : Suite de Fibonacci 12-04-21 à 08:21

Bonjour, pour répondre à ty59847 :

Pour la b) Ok ! Si je comprends bien, on a démontré par récurrence que vn+1 = -vn donc qu'en effet la suite vn prend  2 valeurs successivement. Or si l'on prend v1 et v2, on trouve 1 et -1 . En utilisant -1, on peut avoir une alternance entre -1 et 1. Cependant, comment expliquer le n-1, ça m'échappe...

Pour la c) J'ai pensé au théorème de Bézout mais j'ai du mal à voir  comment on pourrait s'en servir ici. Sinon en utilisant une réciproque du théorème de Gauss, afin de prouver que pgdc(un,un+1) = 1

Pour répondre à matheuxmatou :

Oui pas de souci ! Je n'avais pas pris ça en compte !Je rectifierai ça pour de futurs post.

Posté par
ty59847
re : Suite de Fibonacci 12-04-21 à 17:56

Tu dis :
En utilisant -1, on peut avoir une alternance entre -1 et 1. Cependant, comment expliquer le n-1, ça m'échappe...
Je ne comprends pas trop ce que tu dis, ni ce qui t'échappe.
La suite (-1)n , elle alterne en prenant successivement les valeurs -1 et 1.
La suite (-1)n-1 aussi. La seule différence, c'est que l'une vaut -1 qand n est pair, alors que l'autre vaut -1 quand n est impair.

Pour la question c),  C'est effectivement Bezout qui va nous servir.
Bezout nous dit : a et b sont premiers entre eux ssi on peut trouver p et q entiers tels que pa+qb=1
Ou, formulé un peu différemment : PGCD(a,b)=1 ssi on peut trouver p et q entiers tels que pa+qb=1
Application :
un et un+1 sont premiers entre eux ssi on peut trouver p et q entiers  tels que pun+qun+1=1

Et justement, on a trouvé à la question précédente p=un et q= -un-1,    et je te laisse continuer/corriger ...

Posté par
QuentinDelon1
re : Suite de Fibonacci 13-04-21 à 08:40

Oui c'est vrai que c'est logique, il fallait juste y penser !

Merci beaucoup, j'ai tout compris !

Bonne Continuation



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