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Suite de Fibonacci
Bonjour !
Voici mon sujet :
On appelle suite de Fibonacci la suite (un) définie par : u0 = 0 u1 =1 et un+2 = un+1 +un
Avec n et un entier naturel
1)a Calculer les termes de la suite jusque u10
b) Que peut-on conjecturer sur pgcd(un,un+1) pour tout n entier naturel non nul ?
On peut conjecturer que pgcd(un,un+1) =1
2) On défnit (vn) par vn=un²-un+1 x un-1 pour tout n entier naturel non nul
a) Démontrer que Vn+1 = -Vn
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, c'est bon.
Cependant je n'arrive pas ces 2 dernières questions :
b) En déduire que un² - un+1 x un-1 =(-1)n-1
c) Démontrer alors la conjecture émise à la question 1b)
Je n'arrive pas à prouver la 2b) et à l'aide de cette égalité, je ne comprends pas comment prouver que pgcd(un,un+1)=1
Merci de votre aide !!
Dans la question 2a, tu as démontré que la suite (vn) prend alternativement 2 valeurs opposées.
Calcule v1 ou v2 ... et tu vas constater que ces 2 valeurs opposées, c'est 1 et -1. Et c'est (quasiment) fini pour la question 2b.
Pour la question 2c, peux-tu donner le nom du théorème qui va nous sauver ? Et l'énoncé de ce théorème, bien sûr.
bonjour
et puis , si tu ne sais pas mettre des indices, mets des parenthèses
un+1 est ambigu... est-ce un + 1 ou un+1 ?
alors suivant le cas, note u(n)+1 ou u(n+1) 
et visiblement tu sais mettre les puissances, alors mets les indices correctement 
Bonjour, pour répondre à ty59847 :
Pour la b) Ok ! Si je comprends bien, on a démontré par récurrence que vn+1 = -vn donc qu'en effet la suite vn prend 2 valeurs successivement. Or si l'on prend v1 et v2, on trouve 1 et -1 . En utilisant -1, on peut avoir une alternance entre -1 et 1. Cependant, comment expliquer le n-1, ça m'échappe...
Pour la c) J'ai pensé au théorème de Bézout mais j'ai du mal à voir comment on pourrait s'en servir ici. Sinon en utilisant une réciproque du théorème de Gauss, afin de prouver que pgdc(un,un+1) = 1
Pour répondre à matheuxmatou :
Oui pas de souci ! Je n'avais pas pris ça en compte !Je rectifierai ça pour de futurs post.
Tu dis :
En utilisant -1, on peut avoir une alternance entre -1 et 1. Cependant, comment expliquer le n-1, ça m'échappe...
Je ne comprends pas trop ce que tu dis, ni ce qui t'échappe.
La suite (-1)n , elle alterne en prenant successivement les valeurs -1 et 1.
La suite (-1)n-1 aussi. La seule différence, c'est que l'une vaut -1 qand n est pair, alors que l'autre vaut -1 quand n est impair.
Pour la question c), C'est effectivement Bezout qui va nous servir.
Bezout nous dit : a et b sont premiers entre eux ssi on peut trouver p et q entiers tels que pa+qb=1
Ou, formulé un peu différemment : PGCD(a,b)=1 ssi on peut trouver p et q entiers tels que pa+qb=1
Application :
un et un+1 sont premiers entre eux ssi on peut trouver p et q entiers tels que pun+qun+1=1
Et justement, on a trouvé à la question précédente p=un et q= -un-1, et je te laisse continuer/corriger ...
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