Niveau Lycéen curieux

Suite de primitives par IPP

Posté par
Togodumnus 13-11-22 à 16:20

Bonjour,

Je reprends un peu les mathématiques pour un projet perso et ça fait très longtemps que je n'en avais pas fait (j'en profite pour passer le bonjour aux anciens ici et les remercier de continuer à faire vivre le site), donc je suis très rouillé en maths. Probable que je revienne vous solliciter par la suite.

Je définis une suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de fonctions définie de la manière suivante :

$F_n(x) = \int \ln^n(x) dx$

Et en cela, j'aimerais trouver la forme générale de $F_n(x)$ . Par la suite on négligera la constante, on dira qu'on cherche une primitive sinon c'est un peu pénible à se trimballer, mais je ne l'oublie pas.
Pour $n = 1$ , c'est assez évident : $F_1(x) = x \ln(x)-x$ .
Une fois que l'on passe à un $n \ge 2$ quelconque, on voit aisément que $F_n(x) = x \ln^n(x) - n(x \ln^{n-1}(x) - F_{n-1}(x))$ . La relation est assez évidente.

Toutefois, j'ai du mal à conjecturer la forme finale de $F_n(x)$ . J'avais en tête la forme suivante en développant un peu

$F_n(x) = x[\ln^n(x) + \sum_{i = 1}^{n}(-1)^i \frac{n!}{(n-i)!} \ln^{n-i}(x)]$

Donc en introduisant le premier terme dans le produit :

$F_n(x) = x \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{(n-i)!} \ln^{n-i}(x)$

En faisant vivre la relation (la forme vérifie trivialement l'initialisation), cela me donne :

$F_{n+1}(x) = \int \ln^{n+1}(x) dx$
$F_{n+1}(x) = x \ln^{n+1}(x) - \int (n+1)x \frac{1}{x} \ln^n(x) dx$
$F_{n+1}(x) = x \ln^{n+1}(x) - (n+1) \int \ln^n(x) dx$
$F_{n+1}(x) = x \ln^{n+1}(x) - (n+1) F_n(x)$
$F_{n+1}(x) = x \ln^{n+1}(x) - (n+1)x \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{(n-i)!} \ln^{n-i}(x)$
$F_{n+1}(x) = x[ \ln^{n+1}(x) + \sum_{i=0}^n (-1)^{i+1} \frac{(n+1)!}{(n-i)!} \ln^{n-i}(x)]$
$F_{n+1}(x) = x[ \ln^{n+1}(x) + \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i} \frac{(n+1)!}{(n+1-i)!} \ln^{n+1-i}(x)]$

Et là de ma compréhension, le terme $\ln^{n+1}(x)$ se met assez facilement dans la somme :

$F_{n+1}(x) = x[\sum_{i=0}^{n+1} (-1)^{i} \frac{(n+1)!}{(n+1-i)!} \ln^{n+1-i}(x)]$

Et en cela je comprends que la récurrence fonctionne (sans pour autant en être totalement certain).

Par conséquent, je voulais voir deux choses :
1) Est-ce que le raisonnement est bon ?
2) Y a-t-il un moyen de faire plus simple, sans passer par un raisonnement par récurrence par exemple ?

Merci beaucoup et bon dimanche.

Posté par re : Suite de primitives par IPP 13-11-22 à 17:01

salut

Togodumnus @ 13-11-2022 à 16:20

Une fois que l'on passe à un $n \ge 2$ quelconque, on voit aisément que $F_n(x) = x \ln^n(x) - n(x \ln^{n-1}(x) - F_{n-1}(x))$ . La relation est assez évidente. ben ça c'est à montrer par récurrence avec les deux relations suivantes et voir cela ... ben tant mieux pour toi !!

parce que ce n'est absolument pas évident

$F_n(x) = x[\ln^n(x) + \sum_{i = 1}^{n}(-1)^i \frac{n!}{(n-i)!} \ln^{n-i}(x)]$

Donc en introduisant le premier terme dans le produit :

$F_n(x) = x \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{n!}{(n-i)!} \ln^{n-i}(x)$

donc

1/ oui c'est l'idée : on ne coupe pas à faire un raisonnement par récurrence

2/ donc non !!

Posté par re : Suite de primitives par IPP 13-11-22 à 17:06

il peut peut-être être intéressant d'écrire aussi :

$F_1 (x) = x(\ln x - 1) \\ \\ F_n (x) = x \ln^{n - 1} x ( \ln x -n) + n F_{n - 1} (x)$ à voir ...