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suite de Rieman

Posté par
aya4545 24-02-22 à 12:43

bonjour
priere m aider a faire cet exercice
F(x)=\int_{1}^{e^{2x}}}\frac{\arctan(\ln(\sqrt u)}{2u}du

1) montrez que D_F=\R et que F est paire
2) montrez que Fest derivable sur \R et calculer F'
3) en deduire que :\forall x \in \R \quad F(x)=\int_{0}^{x} \arctan t dt
4) retrouver ce resultat avec une integration par changement de variable
5) on pose S_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{\substack{i=0 }}^{n}{(n-k)\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{(k+1)}{n}} \arctan t dt}
calculer I=\int_{0}^{1} (1-x)\arctan x dx
6) montrer que S_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{\substack{k=1 }}^{n-1}{F(\frac{k}{n})}
7) en deduire que S_nest convergente et montrer que \lim_{n \to +\infty} S_n=I
ce que j ai fait
1)F(x)=\int_{1}^{e^{2x}}}\frac{\arctan(\ln(\sqrt u)}{2u}du =\int_{1}^{v(x)}}\frac{\arctan(\ln(\sqrt u}{2u}du \quad v(x)=e^{2x}
* v definie et continue sur [/tex]\R[/tex] et a valeurs ]0 +\infty[
* par composition on demontre que f:u\to \frac{\arctan(\ln(\sqrt u}{2u} est continue sur ]0 +\infty[
* 1\in ]0 +\infty[
donc D_F=\R
je peux montrer  que F est paire en utilisant le resultat de la 3) question par un changemet de variable -x=t ou bien en posant F(x)+F(-x)=s(x) on montrera que s est derivable de derivée nulle ...
je n ai pas fait cette question

2) facile a faire on montrera que F est derivable F(x)=G(e^{2x})-G(1) avec G une des primitives de fdonc
F'(x)=G'(e^{2x})=2e^{2x}f(e^{2x})=\arctan(x) et puisque F(0)=0 donc F(x)=\int_{0}^{x} \arctan t dt
4) on retrouve bien ce resultat avec un changement de variable t=\ln\sqrt{u}) dans F(x)=\int_{1}^{e^{2x}}}\frac{\arctan(\ln(\sqrt u}{2u}du

5)IPP
J ai des problemes dans 6) dans 7) on utilise la faite que Sn est une suite de Rieman
et  merci

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 13:00

Bonjour,

1) Tu peux montrer que F est paire avec le changement de variable u=\dfrac{1}{t}

Je regarde la suite ...

Posté par
carpediemre : suite de Rieman 24-02-22 à 13:07

salut

1/ je ne comprends pas ce que tu fais ...

pour tout x exp (2x) > 0 donc la variable d'intégration ne peut s'annuler !!!

pour la parité il suffit de calculer F(-x) et d'effectuer le changement de variable u = 1/t ... probablement ...

6/ n - k = n(1 - k/n) et on utilise 5/ ... avec un changement de variable ... pour se ramener à l'intervalle d'intégration [0, 1]

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 13:49

merci lake et carpediem
je touve des problemes pour determiner le domaine de definitin d une fonction definie par integrale    
dans cet exemple j ai procédé ainsi :


F(x)=\int_{1}^{e^{2x}}}\frac{\arctan(\ln(\sqrt u}{2u}du
**t\to e^{2t} definie et continue sur \R et a valeurs ]0 +\infty[
** la fonction a l interieur de l integral cad f:u\to\frac{\arctan(\ln(\sqrt u)}{2u} par composition on demontre qu elle continue sur]0+\infty[ donc F est definie sur R

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 13:51

avec le changement de variable   u=\dfrac{1}{t} j ai reussi a montrer que F est paire

Posté par
carpediemre : suite de Rieman 24-02-22 à 13:59

l'important c'est de noter que ton intégrande (la fonction f) est un quotient qui s'annule en 0 donc il y a deux choses à voir :

a/ la variable d'intégration peut-elle prendre la valeur 0 ?

b/ F(x) existe-t-il pour tout x ? (est-il un nombre fini)

Posté par
carpediemre : suite de Rieman 24-02-22 à 14:02

être une fonction continue n'est pas suffisant pour assurer l'existence de F ...

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 14:06

je n ai pas bien compris votre message carpediem merci d expliquer d avantage

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 14:21

Et moi, je ne comprends pas ceci :

  

Citation :
6/ n - k = n(1 - k/n) et on utilise 5/ ... avec un changement de variable ... pour se ramener à l'intervalle d'intégration [0, 1]


6) est un simple réarrangement de somme. Non ?

  

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 14:23

par exemple F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt
si D_u=D_v=J et u et v a valeurs  dans D_f=I alors D_F=J  n est ce pas

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 14:33

je suis toujours bloquée dans  le 6)

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 15:00

>>aya4545, pour plus de compréhension je pars de la seconde expression en 6)

   \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\int_0^{\frac{k}{n}}\arctan\,t\,\text{d}t=\dfrac{1}{n}\left[\int_0^{\frac{1}{n}}\arctan\,t\,\text{d}t+\int_0^{\frac{2}{n}}\arctan\,t\,\text{d}t+\cdots +\int_0^{\frac{n-1}{n}}\arctan\,t\,\text{d}t+\int_0^{\frac{n}{n}}\arctan\,t\,\text{d}t\right]

Si tu décomposes chaque intervalle d'intégration en une somme d'intervalles d'amplitude \dfrac{1}{n} :

\int_0^{\frac{1}{n}} apparaît n fois.

\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} apparaît n-1 fois.

   \vdots

\int_{\frac{n-2}{n}}^{\frac{n-1}{n}} apparaît 2 fois.

\int_{\frac{n-1}{n}}^{\frac{n}{n}} apparaît 1 fois.

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 15:18

Quant à 7) :

  S_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}F\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}F\left(\dfrac{k}{n}\right)

est une somme de Riemann et en tant que telle :

   S_n=\int_0^1F(x)\,\text{d}x=\int_0^1\left(\int_0^x\arctan\,t\,\text{d}t\right)\,\text{d}x

Tu peux intégrer par parties en posant :

   u=\int_0^x\arctan\,t\,\text{d}t et v'=1

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 15:22

Une erreur :

  

Citation :
S_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}F\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\sum_{k={\red 0}}^{n-1}F\left(\dfrac{k}{n}\right)

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 15:36

        merci lake

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 15:38

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 16:33

Je reviens sur ton énoncé où il semble y avoir une erreur ici :

  

Citation :
6) montrer que S_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}}^{{\red n}}{F(\frac{k}{n})}


Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 16:48

effectivement j etais entrain d y reflechir
la suite S_n converge mais pas vers I=\int_{0}^{1} (1-x)\arctan x dx

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 16:51

Mais si, mais si : vers I=\dfrac{1-\ln\,2}{2}

Un souci ?

Posté par
carpediemre : suite de Rieman 24-02-22 à 17:19

lake :

msg de 14h21 : oui ce que tu proposes est plus simple ... et je me suis peut-être mélangé les pinceaux ...

pour l'erreur : post de 15h22 et 16h33 :

les deux sommes S_n = \dfrac 1 n \sum_0^{n - 1} f(\frac k n) $ et $ T_n = \sum_1^n f(\frac k n) tendent toutes les deux vers \int_0^1 f(t)dt

mais il faut bien qu'il y aie effectivement n termes dans la somme

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 17:20

J'avais préparé ceci pour aya4545 :

  Les suites (ou sommes) \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right) et \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right) où f est continue sur[0,1] sont des sommes de Riemann qui convergent vers \int_0^1f(t)\,\text{d}t

Posté par
carpediemre : suite de Rieman 24-02-22 à 17:30

désolé ...

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 17:34

Pas grave

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 17:45

j ai comis une ereur

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 18:01

  S_n=\int_0^1F(x)\,\text{d}x=\int_0^1\left(\int_0^x\arctan\,t\,\text{d}t\right)\,\text{d}x=\int_0^1xarctanx-\frac12\ln(1+x²)dx=\dfrac{1-\ln\,2}{2}
   I=\int_{0}^{1} (1-x)\arctan x dx =\dfrac{1-\ln\,2}{2}

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 18:11

Oui mais ce n'est pas comme ça que ton énoncé voyait la chose :

Citation :
S_n=\int_0^1F(x)\,\text{d}x=\int_0^1\left(\int_0^x\arctan\,t\,\text{d}t\right)\,\text{d}x

Tu peux intégrer par parties en posant :

   u=\int_0^x\arctan\,t\,\text{d}t et v'=1


donne :

  S_n=\left[x\int_0^x\arctan\,t\,\text{d}t\right]_0^1-\int_0^1x\,\arctan\,x\,\text{d}x

  S_n=\int_0^1\arctan\,t\,\text{d}t-\int_0^1x\,\arctan\,x\,\text{d}x

  S_n=\int_0^1(1-x)\,\arctan\,x\,\text{d}x=I

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 18:40

Au fait, tu n'aurais pas un peu "triché" pour ce passage là :

  

Citation :
\cdots \int_0^1(x\arctan x-\frac12\ln(1+x²))dx=\dfrac{1-\ln\,2}{2}



?

Posté par
aya4545re : suite de Rieman 24-02-22 à 18:58

c est vrai je l  ai calculé  en utilisant  un calculateur en ligne

Posté par
lakere : suite de Rieman 24-02-22 à 19:02


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