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suite définie par intégrale

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Hoffnung 07-03-21 à 00:55

Bonsoir,

on a f(x)=tanx définie sur \left]-\frac{\Pi }{2};\right\frac{\Pi }{2}[
f^{-1}(x)=\int_{0}^{x}{\frac{dt}{1+t^{2}}}
an=\int_{0}^{1}{(1-t^{2})^{n}dt}

on considère la suite définie sur N par Un=\sum_{0}^{n}{\frac{k!}{1\times 3\times..\times (2k+1)}}
je peine à démontrer cette question :
Montrer que pour tout n \in N Un=2\int_{0}^{1}{\frac{1-(\frac{1-t^{2}}{2})^{n+1}}{1+t^{2}}}dt
   réponses aux questions précédentes:
an+1-an=-\int_{0}^{1}{t^{2}(1-t^{2})^{n}dt}

an+1=\frac{2n+2}{2n+3}an

an=\frac{2^{2n}\times (n!)^{2}}{(2n+1)!}
Merci d'avance.

Posté par
lakere : suite définie par intégrale 07-03-21 à 01:49

Bonsoir,

Dans l'expression de u_n (en réintégrant le 2 dans l'intégrale),  remarque que l'intégrande est la somme de n+1 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison \dfrac{1-t^2}{2}.
On n'est plus très loin d'une somme des a_k.

Posté par
Hoffnungre : suite définie par intégrale 07-03-21 à 02:02

alors un=\sum_{0}^{n}{\frac{a_{k}}{2^{k}}} ?

Posté par
lakere : suite définie par intégrale 07-03-21 à 09:56

Plutôt, il faut que tu vérifies que :

   \sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{2^k}=u_n

  en remplaçant a_k par sa valeur en fonction de k.

Posté par
lakere : suite définie par intégrale 07-03-21 à 10:14

... tu pourras déduire de l'ensemble que \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\dfrac{\pi}{2}

Posté par
Hoffnungre : suite définie par intégrale 08-03-21 à 20:31

Ok, merci.

Posté par
lakere : suite définie par intégrale 09-03-21 à 10:54


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