hors sujet met en tapant :

5$\pi on obient :



...

salut

I(n+1)=(1/2^(n+2))*integrale[Pi a 4*(n+1)*Pi] x*cos(x/2).dx

on utilise la relation de Chasles pour les integrales :

I(n+1)=(1/2^(n+2)) *[integrale[Pi a 4*n*Pi] x*cos(x/2).dx + integrale[4*n*Pi a 4*(n+1)*Pi] x*cos(x/2).dx]

on calcule A= integrale[4*n*Pi a 4*(n+1)*Pi] x*cos(x/2).dx

integration par parties :

u(x)=x         => u'(x)=1
v'(x)=cos(x/2) <= v(x)=2*sin(x/2)

A=-2*integrale[4n*Pi a 4*(n+1)*Pi]sin(x/2).dx
x->-2*cos(x/2) est une primitive de x->sin(x/2)
A=4*[cos(2*(n+1)*Pi) -cos(2*n*Pi)]=0

donc  
I(n+1)=(1/2^(n+2))*[integrale[Pi a 4*n*Pi] x*cos(x/2).dx ]=(1/2)*I(n)

donc I(n+1)/I(n)=(1/2) donc I est une suite geometrique de raison 1/2

S(n) est la somme des (n+1) premiers termes de la suite goemetrique I de raison 1/2 (donc differente de 1) et de premier terme I(0)= -Pi +2 (d'apres ce que tu as dit)

S(n)=I(0)* [1-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)=2*(2-Pi)*[1-(1/2)^(n+1)]

S(n)=2*(2-Pi)*[1-(1/2)^(n+1)]

on fait tendre n vers +oo
donc lim S(n)=2*(2-Pi) car (1/2)^n+1 ->0 quand n->+oo
n->+oo

a verifier.
a+

Re bonsoir,

Ok merci j'ai compris par contre pour la limite c'est 0 car "0"*2*(2-Pi) = 0

Par contre j'ai encore un problème avec une suite définie par une intégrale :



Il est demander de montrer que qu'elle croissante. Pour ça je m'en suis sorti. Par contre après il est demander de calculer en fonction de n par deux intégrations par parties. Le problème c'est que lorsque je le fais je retombe sur la même intégrale que donné au début dans l'énoncé et je sais pas comment faire à partir de là

Merci de votre aide

salut
j'ai pas tout suivi...

on a bien :

pour tout n, S(n)=2*(2-Pi)*[1-(1/2)^(n+1)] ?
non ?
es tu d'accord avec ce resultat ?

si je fais tendre n vers +oo on a 2*(2-Pi) qui reste constant
et 1-(1/2)^(n+1) qui tend vers 1 car (1/2)^(n+1) tend vers 0 quand n->+oo.

donc lim S(n)=2*(2-Pi)
     n->+oo

Oui je suis d'accord avec le résultat de S(n). Mais j'avais pas fait attention au 1-    "0"

Cependant il y a donc un problème car si je calcule les premiers termes de la suite à la calculette je trouve que la suite tend vers 0. Enfin bon je vais reprendre l'exercice

Sinon quelqu'un pourrait m'aider pour l'autre question ? Comment faire pour trouver un résultat quand on intégre et qu'on retombe sur une intégrale a intégré par parties à l'infinie ? Car quand il y avait des cos ou des sin il suffit de linéariser et ça marché desuite mais là...

pour le second message : tu as le probleme qu'on les eleves avec les integrations par parties.
je ne serais pas etonne que dans la seconde IPP tu as derive ce que tu as avais integre dans la premiere.

reprenons :

V(n)=integrale [0,n] x²*exp(-x).dx


1ere IPP :

u(x)=x²        => u'(x)=2x
v'(x)=exp(-x) <=  v(x)=-exp(-x)

donc V(n)=-n²*exp(-n) + 2*integrale[0 a n] x*exp(-x).dx

2 eme IPP :

u(x)=x        => u'(x)=1
v'(x)=exp(-x) <= v(x)=-exp(-x)

V(n)=-n²*exp(-n)-2*n*exp(-n) +2*integrale[0 a n] exp(-x).dx

V(n)=[-n²-2n]*exp(-n) -2*exp(-n) +2

donc V(n)=[-n²-2n-2]*exp(-n) +2

quand tu dis
"si je calcule les premiers termes de la suite à la calculette je trouve que la suite tend vers 0"

de quelle suite parles tu ?

S(n) ? I(n) ?

pour I(n) c'est normal, S(n) convergeant, il est obligatoire que I(n) tend vers 0.

mais si I(n) tend vers 0 et que S(n) converge il n'est pas obligatoire que les 2 suites aient meme limite.

exemple : soit u(n)=1/n², n dans N* cette suite tend vers 0

soit V(n)=somme [k=1 a n] u(k)
la suite V converge (admis) et tend vers Pi²/6.

je viens de verifier les calculs, la limite de S est bien 2*(2-Pi)

"je ne serais pas etonne que dans la seconde IPP tu as derive ce que tu as avais integre dans la premiere."

Oui, effectivement

de quelle suite parles tu ?

S(n), mais je suis vraiment pas doué décidemment. Je viens de refaire la limite à la calculette et je trouve -2(pi-2) qui correspond au 2(2-pi) que tu as trouvé. L'erreur venait du fait que j'avais tapé somme des I(n) de k=0 à n et pas somme des I(k) de k=0 à n. Je m'excuse donc de mes bêtises et je te remercie encore ^^

pas de quoi.

ce n'est pas grave tout ce qui compte c'est que tu reperes les pieges quand on utilise les integrales.