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Suite des polynômes de Tchebychev
Bonsoir !
f0(x)1=1
f1(x)=x
fn(x)2*x*fn-1(x)-fn-2(x)
x est un réel et x appartient à [-1;1]
n est un entier, n>(ou égal)2
J'ai démontré que fn[cos(x)]=cos(n*x) pour tout entier naturel n.
J'ai conjecturé que fn(x)=0 admet n solution(s) et je dois la démontrer.
Or je ne sais pas par quoi commencer :/
Je n'arrive pas à faire le lien entre cette question et ma première démonstration ..
PS: tous les termes situés juste après la lettre f sont les indices de la fonction f.
Nn mais résoudre ça cela suppose qu'on a pris x=cos (x)
Mais c'est pas toujours le cas !
Et puis même, j'avais trouver 2 solutions
Non. Il manque des modulos 2pi dedans donc à refaire.
Quand tu auras corrigé, tu pourras réfléchir à pourquoi effectivement ça fonctionne.
Indice : x appartient à [-1 , 1] et la fonction cosinus à pour image l'intervalle [-1 , 1].
Bah on rajoute +2*k*pi aux deux équations du dessus!
Mais je veux savoir pourquoi et non pas comment!
Bah on rajoute +2*k*pi aux deux équations du dessus!
Quoi tu veux savoir pourquoi ?
Tu n'as pas lu la dernière phrase de mon message ?
cos (n*x)=0
cos(n*x)=cos (pi/2) ou cos (n*x)=cos (-pi/2)
n*x=pi/2 (2pi) ou n*x=-pi/2 (2pi)
Ce qui revient à dire :
x=pi/(2n) +(2kpi)/n ou x=-pi/(2n) +(2k'pi)/n avec k et k' des entiers
D'autre part :
Posons x=cos (x)
fn (x)=fn [cos (x)]
fn (x)=cos (n*x)
ainsi fn (x)=0 équivaut à
cos (n*x)=0
C'est pourquoi je veux disais qu'en résolvant cos (n*x)=0 on
partait du fait que x=cos (x)
D'autre part :
Posons x=cos (x)
fn (x)=fn [cos (x)]
x appartient à [-1 , 1], ainsi il existe un t réel tel que x = cos(t). (Ce t est unique si on se restreint à n'importe quel intervalle de longueur 2pi.)
Pour tout t réel, fn(cos(t)) = cos(nt).
Si on trouve un t tel que cos(nt) = 0, alors t vérifie également fn(cos(t)) = 0 d'où cos(t) est une racine de fn.
Je vais essayer de mieux m'exprimer :
Pourquoi a un instant donné de votre réflexion sur le problème, vous avez commencer par écrire qu'il faut résoudre :
"cos (nx)=0"
Pourquoi ?
(Je ne veux pas savoir ce qui se passe après mais avant !
Pcq cette idée peut certainement résoudre le problème mais faut-il déjà l'avoir en tête !)
Pourquoi a un instant donné de votre réflexion sur le problème, vous avez commencer par écrire qu'il faut résoudre :
"cos (nx)=0"
Pourquoi ?
(Je ne veux pas savoir ce qui se passe après mais avant !
Pcq cette idée peut certainement résoudre le problème mais faut-il déjà l'avoir en tête !)
Pour tout t réel, fn(cos(t)) = cos(nt).
Si on trouve un t tel que cos(nt) = 0, alors t vérifie également fn(cos(t)) = 0 d'où cos(t) est une racine de fn.
(Je ne veux pas savoir ce qui se passe après mais avant !
Pcq cette idée peut certainement résoudre le problème mais faut-il déjà l'avoir en tête !)
1) Tu ne fais pas le lien entre le fait qu'on t'ait demandé juste AVANT de montrer que :
et qu'on te demande juste APRES de rechercher les racines de
(Voici déjà un premier enchainement logique que tu sembles ne pas voir.)
2) Tu commences ta phrase par "Je ne veux pas savoir ce qui se passe après...".
Et bien c'est assez grave. Tu penses que les mathématiques sont quoi ?
Si tu ne t'intéresses pas à ce qu'on doit prouver (c'est à dire la conclusion) comment comptes-tu construire un quelconque raisonnement ?
Pour avoir l'idée de résoudre cos(nt) = 0 il suffisait de comprendre qu'on cherche les solutions à l'équation fn(x) = 0 (et de manière équivalente : fn(cos(t)) = 0).
***
Ce que tu as là c'est un exercice dit guidé.
On t'a donné une définition des polynômes de Tchebychev (fn).
Ici, ces polynômes t'ont été introduits par une relation de récurrence et telle quelle il est assez difficile d'obtenir les propriétés de ces différents polynômes.
Par exemple, la simple propriété que pour tout n > 0, les polynômes de Tchebychev ont exactement n racines distinctes (c'est ce qu'on cherche à démontrer dans l'exercice que tu as posté, entre autres).
Mais, on peut très facilement, partant de la relation de récurrence, montrer que les polynômes de Tchebychev vérifient :
Et de là, découle sans problème sa propriété sur le nombre et la forme de ses racines.
Si mon dernier message n'a pas répondu à ta question c'est que je ne l'ai malheureusement toujours pas comprise désolé.
Voilà où j'en suis :
J'ai compris qu'il faut résoudre fn[cos(t)]=0 ce qui revient à résoudre cos(n*t)=0
Mais l'exercice nous demande de résoudre non pas fn[cos(t)]=0 mais fn(x)=0
Donc il me parait normal de poser x=cos(t)
Bon, on obtenait t=pi/(2*n)+(2*k*pi)/n ou t=-pi/(2*n)+(2*k'*pi)/n avec k et k' deux entiers.
Mais après ?
x appartient à [-1;1] donc cos(t) appartient aussi à [-1;1] donc t appartient à [-pi;pi] ?
Donc il me parait normal de poser x=cos(t)
La première fois tu avais écrit x = cos(x) ce qui est d'une totale différence.
Maintenant que ne comprends-tu pas dans :
Si on trouve un t tel que cos(nt) = 0, alors t vérifie également fn(cos(t)) = 0 d'où cos(t) est une racine de fn.
?
Car c'est exactement la question que tu me poses maintenant.
Ecris autrement :
Tu as trouvé que l'ensemble des solutions à cos(nt) = 0 est { pi/(2n) + k*pi/n, k entier }.
Donc les racines (maintenant on revient aux racines) de fn sont ???
Question qui va peut être vous paraître bête mais c'est quoi la différence entre
poser x=cos(x) et x=cos(t) ?
Alors t=pi/(2*n)+(2*k*pi)/n ou t=-pi/(2*n)+(2*k'*pi)/n
Donc cos(t) =cos[pi/(2*n)+(2*k*pi)/n ] ou cos(t)=cos[-pi/(2*n)+(2*k'*pi)/n]
x=cos[pi/(2*n)+(2*k*pi)/n ] ou x=cos[-pi/(2*n)+(2*k'*pi)/n] ?
Après quand je vous ai dis que t appartient à [-pi;pi] il aurait très bien pu appartenir à [0;2pi] non ?
x est déjà définit dans ton énoncé, c'est une variable (donc un nombre qui varie) entre -1 et 1.
Tu ne peux donc pas poser (poser à le sens de définir) à nouveau x = quelque chose.
Si tu "poses" x = cos(x), tu vois de toute façon que x n'a plus son caractère variable. Il est fixe, c'est une solution à l'équation x = cos(x) justement.
Tu peux en revanche définir (poser) t vérifiant cos(t) = x. t n'a pas encore été introduit nulle part, donc tout à fait légal de le définir comme étant arccos(x) (je mets en italique car t = arccos(x) impose que t appartient à [0 , pi]).
Tu vois la différence maintenant ?
Dans un cas tu as redéfinis x et c'est illégal et dans l'autre tu as introduit un nouvel objet (un réel) t.
Les racines de fn sont biens de la forme cos(pi/(2n) + k*pi / n), k entier (ou si tu veux séparer avec des 2kpi comme tu l'as fait).
Ta question suivante est un peu maladroite voici pourquoi :
A l'origine, x = cos(t) appartient à [-1 , 1] oui, mais dans ce cas t peut très bien prendre n'importe quelle valeur réelle. Tu remarqueras que je l'ai d'ailleurs écrit explicitement dans mes précédents messages que t est un réel quelconque.
Mais si on observe l'ensemble solution : { cos(pi/(2n) + k*pi / n), k entier } on se rend compte que cet ensemble en réalité ne contient qu'un nombre fini de nombres distincts n'est-ce pas ? A cause de la périodicité de la fonction cosinus.
Alors quels sont ces nombres distincts ?
Et c'est sans doute dans ce sens que part ta question, c'est que si on limite t à un sous intervalle de R alors on peut avoir tous les nombres de l'intervalle [-1 , 1], par exemple t restreint à l'intervalle [0 , pi] permet de déterminer tous les réels x de [-1 , 1] de façon unique.
On ne peut pas prendre [-pi , pi] car il y a deux choix par exemple pour 0 : -pi/2 et pi/2...
Lire :
Tu ne peux donc pas poser (poser a le sens de définir) à nouveau x = quelque chose.
J'ai compris 
x=cos(t)= cos(pi/(2n) + k*pi / n)
La fonction t:--->cos(t) est paire donc je peux limiter mon intervalle d'étude à [0;pi]
0<(ou =)t<(ou =)pi
ce qui revient à dire que -1/2<(ou =)k<(ou =)n-1/2
Et après ?
(Je suis désolée, c'est vraiment nouveau de redéfinir une variable etc )
D'accord mais si au bac j'ai ce genre d'exercice, qu'est ce que je peux me dire entre x=cos (x) et x=cos (t)
Et enfin, si on avait pris t appartient à [0;2pi] ou [-pi;pi]
c'est à dire qu'on ne se sert pas de la parité de fn .. et ce qu'on aura n solutions aussi ?
***
Pour la question x = cos(x) ou x = cos(t).
Tu ne peux pas dire je pose x = cos(x) car tu fixes x.
x est une variable, x est un nombre quelconque de l'intervalle [-1 , 1], tu ne peux donc pas fixer x à la valeur cos(x).
Dans ce cas on ne pourrait plus avoir x = 0 par exemple car 0 n'est pas égal à cos(0).
Ce choix n'a donc pas de sens.
En revanche tu peux dire que comme x appartient à [-1 , 1] on pourra toujours trouver un réel t qui soit tel que x = cos(t).
Ce choix est bien justifié. Si on a x = -1 par exemple, on n'a qu'à prendre t = pi ou t = -pi ou ... Si on a x = 0 on n'a qu'à prendre t = pi/2 ou t = -pi/2 ...
***
Regarde ce qui se passe avec t un réel quelconque :
On arrive quand même à l'ensemble des solutions est : { cos(pi/(2n) + k*pi / n), k 
}.
Mais on sait que cet ensemble ne peut qu'être fini en raison de la périodicité de la fonction cosinus.
Le tout est de trouvé les nombres distincts de l'ensemble solution.
La fonction cosinus est strictement décroissante sur l'intervalle [0 , pi] et a pour ensemble image [-1 , 1] (très important).
AINSI se restreindre à l'intervalle [0 , pi] pour t suffit pour avoir toutes les solutions distinctes.
Si on prend un intervalle de longueur 2pi par exemple [0 , 2pi] il y a des solutions en double, par exemple cos(pi/2) = cos(3pi/2).
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