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Suite et congruence

Posté par
Jean47210
20-10-20 à 16:34

Bonjour, je rencontre actuellement in problème sur mon exercice, donc je vous demande votre aide : Voici mon exercice;

On considère la suite (Un) définit pour tout entier naturel n, par Un = 2^n+2^2n+2^3n

1) Calculer U0, U1, U2

Pour ceci je trouve U0=3.       U1=14.         U2=84.  

2) Démontrer que pour tout entier n E N, Un+3 ≡ Un[7]

Ici je ne sais même pas sur quel base partir je n'ai aucune idée de la manière de procéder, si quelqu'un peut m'apporter une aide, se serait avec grand plaisir.
Dans l'attente d'une réponse et vous remerciant d'avance, Jean

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 16:45

Bonjour,
Je te conseille de travailler sur un+3 - un.

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 20-10-20 à 16:50

Merci de ta réponse, je vais essayé de partir sur cette base pour résoudre le problème, je te tient au courant. Merci

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 20-10-20 à 17:00

Ayant beau cherché, je ne trouve pas un+3, aurait tu une autre indication sans pour autant me donner la réponse s il te plait

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 17:33

Est-ce bien un = 2^n + 2^(2n) + 2^(3n) ?
Saurais-tu écrire un+1 ?

Pour les exposants et les indices, il y a les boutons \; X2 \; et \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Permet d'écrire ainsi : un = 2n + 22n + 23n

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:02

Je te remercie, je ne connaissais pas la touche exposant. Si je ne dit pas de bétise, Un+1 s'écrit Un+Un. Mais je n'en suis pas sur.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:06

Comment as-tu fait pour calculer u2 par exemple ?

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:20

Alors j'ai fais U2=22+24+26
U2=84

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:22

Un+1=2(n+1)+22(n+1)+23(n+1)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:24

Tu fais pareil pour un+3

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:32

Donc pour Un+3 je trouve 2(n+3)+22(n+3)+23(n+3)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:36

Pas si difficile !
Tu veux démontrer un+3 un [7]
C'est équivalent à un+3 - un 0 [7]
Donc, cherche à transformer un+3 - un pour trouver ce résultat.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 18:46

En fait, il y a plus simple :
Faire apparaître 23 partout où c'est possible.
Par exemple 22(n+3) = 22n + 23 = 22n232 = 22n (23)2.
A quoi 23 est-il congru modulo 7 ?

Posté par
flight
re : Suite et congruence 20-10-20 à 21:12

salut

pour laisser Sylvieg souffler un peu

23 = 1[7]    ----->2n 23 =2n[7]  
26 = 1[7]    ----->   à toi .....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 20-10-20 à 23:05

Bonsoir flight,
C'est à Jean47210 que j'avais adressé cette question :

Citation :
A quoi 23 est-il congru modulo 7 ?

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 11:48

Merci de votre aide et désolé de l'attente mais je ne comprends pas comment vous passez de 23 = 1[7]    ----->2n 23 =2n[7].
Je pense que ma lacune viens plutot des congruances

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 11:52

Je comprends que 23 = 1[7] Ceci ne me pose pas de probleme mais par contre pourquoi ceci 2n 23 =2n[7]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 21-10-20 à 12:15

Une propriété des congruences :
Si a b [7] et c d [7]
Alors ac bd [7]

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 12:16

Si mon raisonnement est correct, 26 = 1[7]    ----->2n 26=2n[7]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 21-10-20 à 12:20

Oui.
Sais-tu déduire 26 = 1 [7] de 23 = 1 [7] ?

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 12:25

Nous pouvons déduire que 23=26[7], les deux ayant le meme reste.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 21-10-20 à 12:31

Ce n'est pas ce que je voulais te faire dire.
Avec un autre exemple :
Constatant que 56 1 [7], que pourrais-tu en déduire pour 512 ?

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 13:05

Désolé ayant beau chercher, je ne vois pas ou vous voulez me conduire, je sais qu'il  y a un rapport avec les exposants qui doublent mais je ne sais pas ou en venir.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suite et congruence 21-10-20 à 13:50

512 = 562 = (56)2

De 56 1 [7], on peut déduire (56)2 12 [7].
Donc 512 1 [7].

Idem pour passer de 23 à 26.

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 14:01

Je vous remercie de votre aide, j'avais pas pensé à ceci, mais je ne comprends pas vraiment ou est le rapport avec  le probleme mais je vais essayé de comprendre.

Posté par
carpediem
re : Suite et congruence 21-10-20 à 15:05

salut

en travaillant proprement avec les puissances et en travaillant avec les combinaisons linéaires (pour ne pas parler de congruence) :

u_{n + 3} = 2^{n + 3} + 2^{2n + 6} + 2^{3n + 9} = u_n + 7u_n + (2^6 - 8)2^{2n} + (2^9 - 8) 2^{3n}

or 2^6 - 8 $ et $ 2^9 - 8 sont évidemment multiples de 7 ...



sinon on peut aussi écrire : u_n = 2^n + 4^n + 8^n \equiv 2^n + 4^n + 1^n  [7]

donc u_{n + 3} \equiv 8 * 2^n + 4^3 * 4^n + 1^n \equiv u_n + 63 *4^n

ce qui permet à nouveau de conclure ...

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 18:15

Je te remercie de ton aide carpediem, meme si je ne voulais pas une reponse toute faite a mon probleme. Merci a tous de votre aide précieuse.

Posté par
carpediem
re : Suite et congruence 21-10-20 à 18:50

je ne suis intervenu que parce que tu en avais fini avec Sylvieg (et réciproquement )

et il reste à décortiquer proprement ce que j'ai fait ... qui est de toute façon basé sur le même principe que ce que Sylvieg te proposait ...

Posté par
Jean47210
re : Suite et congruence 21-10-20 à 18:53

Oui merci justement je viens de tout décortiquer et j'ai put comprendre le rapport entre ceux que l'on essayé de m'expliquer. Je vais maintenant essayé de le refaire et de bien le maitriser. Je te remercie infiniment de ton aide 👍

Posté par
carpediem
re : Suite et congruence 21-10-20 à 19:12

de rien

Posté par
carpediem
re : Suite et congruence 21-10-20 à 19:14

PS : et je viens de me rendre compte que dans ma deuxième méthode il manque un terme ...

à toi de le retrouver !!!



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