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Suite et démonstration par récurrence.

Posté par
Tagada67
24-09-11 à 17:09

Bonjour, j'aurais besoin de vote aide pour réussir (et comprendre) ce long exercice qui suit :

On considère la suite de nombres réels Un définie sur N par :

     Uo=-1 et i1=1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)

1.) Calculer U2 et en déduire que la suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2.) On définit la suite Un en posant, pour tout entier n :

               Vn= Un+1-1/2(Un)

(a)Calculer Vo
(b) Exprimer Un+1 en fonction de Vn.
(c) En déduire que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
(d) Exprimer Vn en fonction de n.

3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n :

                Wn= (Un/Vn)

(a) Calculer Wo
(b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn+1/2(Un), exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn.
(c) En déduire que pour tout n de N, Wn+1=Wn+2
(d) Exprimer Wn en fonction de n.

4.) Démontrer que pour tout entier naturel n

Un= (2n-1)/2puissance n

5.) Il y a une dernière partie mais je vous en demande déjà trop donc .. x:

Mes résultats :

Pour le 1.)

J'ai trouvé U2= 3/4
Cette suite est-elle arithmétique ?
==>U1-U0= 3/2
==>U2-U1= 1/4

Ces valeurs sont différentes donc Un n'est pas arithmétique.

Cette suite est-elle géométrique ?
==> U1/U0= -1/2
==> U2/U1= 3/2

Ces valeurs sont différentes donc Un n'est pas géométrique.

2.) a.) Calcul de Vo
On a Vn=Un+1-1/2Un
On veut v0, on prend donc n=0

==> Vo=U1-1/2(Uo)

Je trouve Vo = 1

b.) Exprimer Vn+1 en fonction de Vn :

J'ai fait comme ça : Vn = Un+1-1/2(Un) <==> Vn+1= Un+2-(1/2)Un+1

c.) Vn est géométrique ?

==>V1/Vo = 1/2
==>V2/V1 = 1/2

Ces valeurs sont égales donc Vn est géométrique de raison 1/2.

d.) Et c'est là que je coince je ne comprends pas la 4.) :x

La 3.)a.) je serais la faire.
La 3.)b.) je ne suis pas sur mais je vais essayer.
La 3.)c.) Je crois qu'il faut faire par récurrence mais pas sur...
La 3.)d.) Même problème que la 2.)d.)

Merci d'avance aux personnes qui accepteront de m'aider !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Suite et démonstration par récurrence. 24-09-11 à 23:38

Bonsoir,

Tout bon jusqu' à 2)a)

2)b)

Citation :
Exprimer Un+1 en fonction de Vn.


Non, il s' agit sûrement d' exprimer v_{n+1} en fonction de v_n:

v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac{1}{2}u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n

v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\,(u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n)

v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\,v_n

2)c) La suite (v_n) est donc géométrique de raison q=\dfrac{1}{2} et de premier terme v_0=1

2)d)On a donc v_n=v_0\,q^n=\dfrac{1}{2^n}

C' est un début...

Posté par
Tagada67
re : Suite et démonstration par récurrence. 25-09-11 à 10:27

Salut ! Et merci d'avoir pris le temps de me répondre

Effectivement, je me suis trompé dans l'énoncé, désolé !

Dans le 2.)b.)
Je comprends le début, mais je ne suis pas sur : tu as fait ça à la première étape : Un+2= 1/2(Un+1) ?

2.) Le résultat trouvé dans la 2.)b.) permet de trouver la raison qui est de 1/2 ou la méthode que j'ai utilisé fonctionne aussi ?

Pour ce qui est de la 2.)d) je n'ai pas trouvé comment tu est arrivé à ça mais je vais relire mon cours j'aurais peut être une illumination ! :p

Je vais continuer mon DM je post les résultats tout à l'heure

Posté par
Tagada67
re : Suite et démonstration par récurrence. 25-09-11 à 11:03

Re-bonjour !

Bon j'ai rapidement fait la question 1 :

Trouver Wo :

J'ai trouvé Wo = -1 (pas dur)

C'est après que ça se corse : "En utilisant l'égalité Un+1=Vn+1/2(Un), Exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn.

J'ai essayé de faire en fonction de Un, et je suppose que si on me demande en fonction de Un c'est que je dois virer tous les Vn... Mais ça me fait un truc bizarre puisque je trouve : Wn+1= (Un+1-1/2(Un)+1/2(Un)
                                                                    ---------------------- (barre de fraction)
                                                                      1/2(Un+1-1/2(Un))
Et je sais pas trop comment développer ça x)
C'est la bonne méthode ou bien je suis complétement à côté ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Suite et démonstration par récurrence. 25-09-11 à 15:55

Citation :
tu as fait ça à la première étape : Un+2= 1/2(Un+1) ?


Je ne comprends pas ta question.

Citation :
2.) Le résultat trouvé dans la 2.)b.) permet de trouver la raison qui est de 1/2 ou la méthode que j'ai utilisé fonctionne aussi ?


Ben non, tu n' as rien montré du tout...

3)a)b)c)d) Oui, w_0=-1

w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}=\dfrac{v_n+\dfrac{1}{2}u_n}{\dfrac{1}{2}v_n}=\dfrac{u_n}{v_n}+2

w_{n+1}=w_n+2

Ainsi, (w_n) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme w_0=-1

Donc w_n=2n-1

4) On a donc u_n=v_nw_n=\dfrac{2n-1}{2^n}

Posté par
Tagada67
re : Suite et démonstration par récurrence. 25-09-11 à 18:57

J'ai juste du mal à comprendre les différentes étapes à la 3.b) et à la 2.b) :/
Pourrais-tu les préciser d'avantage ?

Merci de ton aide en tous cas !

Posté par
cailloux Correcteur
re : Suite et démonstration par récurrence. 25-09-11 à 23:36

2)b) v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n par définition.

Donc v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac{1}{2}u_{n+1} (1)

Or u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n que l' on remplace dans (1):

v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{2}u_{n+1}

v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n

v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n\right)

v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\,v_n

On a prouvé que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{2}

3)b) w_{n}=\dfrac{u_n}{v_n} par définition.

Donc w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} (2)

Or on sait que v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n d' où:

u_{n+1}=v_n+\dfrac{1}{2}u_n

Et on sait par ailleurs (question 2)b)) que v_{n+1}=\dfrac{1}{2}\,v_n

On remplace dans (2):

w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}=\dfrac{v_n+\dfrac{1}{2}u_n}{\dfrac{1}{2}\,v_n}

w_{n+1}=2+\dfrac{u_n}{v_n}

w_{n+1}=w_n+2

Ce qui prouve que (w_n) est une suite arithmétique de raison 2




Posté par
Tagada67
re : Suite et démonstration par récurrence. 28-09-11 à 15:26

Salut, et tous d'abord excuse moi de na pas t'avoir répondu plus tôt mais je suis malade donc je n'y pensait plus !

Merci de m'avoir détailler tes calculs je vais maintenant pouvoir m'entrainer à les refaire

Encore merci pour ton aide et bonne continuation

Posté par
cailloux Correcteur
re : Suite et démonstration par récurrence. 28-09-11 à 19:21

Posté par
Dobylbn
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 13:14

Bonjour

Pouvez vous détaillé le calcul de U2 dans la première question s'il vous plaît

Posté par
malou Webmaster
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 13:25

Bonjour Dobylbn et bienvenue

ce serait plutôt à toi de montrer le calcul que tu fais...

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?



u2 s'obtient en remplaçant n par 0 dans la formule de récurrence donnée au départ de ton énoncé

Posté par
Dobylbn
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 15:34

Si on remplace n par 0 ça nous donne u0

Posté par
Dobylbn
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 15:36

J'essaye de le remplacer par du deux du coup mais ce n'est pas bon ça me donne un truc bizarre

Vn = U2+1 -(1/2) U2

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 15:52

non, si Un+2=Un+1-1/4(Un) et que tu remplaces n par 0 ça donne :
U2 = U1-U0/4
et donc si tu remplaces U0 et U1 par leur valeur, ça te donne U2

Posté par
Dobylbn
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 16:25

Super j'ai en effet trouver le bon résultat 😊

Posté par
Dobylbn
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 16:26

J'ai un autre exercice qui me pause problème pourriez peut être m'aider ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et démonstration par récurrence. 26-08-20 à 19:02

crée un nouveau topic.

Posté par
KPKPKT14
re : Suite et démonstration par récurrence. 23-02-21 à 17:10

Bonjour
Comment avez vous fait pour passer de

Wn+1= (Vn+1/2Un)÷(1/2Vn)

À

Wn+1= 2 + Un÷Wn

Vu que vous ne le précisez pas ce doit être une chose très simple ou une règle de base mais je ne la vois pas.

Posté par
KPKPKT14
re : Suite et démonstration par récurrence. 23-02-21 à 17:15

Wn+1=2+ Un÷Vn*

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et démonstration par récurrence. 24-02-21 à 11:25

Bonjour, rappel : (a/b)/(c/d) = ad/bc

donc Vn/(Vn/2) = 2 et (Un/2)/(Vn/2) = Un/Vn

Posté par
Victor0609
re : Suite et démonstration par récurrence. 22-02-22 à 12:42



4) On a donc u_n=v_nw_n=\dfrac{2n-1}{2^n}



Bonjour, je ne comrpends la question 4) même avec la réponse

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suite et démonstration par récurrence. 22-02-22 à 13:56

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? on a simplement remplacé vn et wn par leur expression en fonction de n que l'on a trouvées dans les questions précédentes.



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