Bonjour,

Justement, et exercice est destiné à te faire bien voir que, dans une récurrence,  l'initialisation est indispensable.
Ici, tu montreras facilement l'hérédité, et cependant, la proposition est fausse.

Justement, cet exercice...

Ah d'accord je comprends mieux pourquoi c'est comme ça mais du coup je dois faire quoi s'il vous plaît ?

Ben, tu démontres l'hérédité. sans te préoccuper de quoi que ce soit d'autre.
Tu réponds ainsi à la question 1/

A la 2/, tu remarques comme tu l'as écrit que la proposition est fausse pour les premières valeurs de n. Tu démontres qu'il n'existe aucun n pour lequel elle soit vraie.

Tu conclues.

Ensuite, tu traites la 3/

Ah d'accord attendez-moi s'il vous plaît, je suis en train de les faire.

Pas de problème, prends ton temps

Attendez, pour la 1) j'ai fait :

A_n+1=4ⁿ⁺¹+1
                                    =4ⁿ×4+1
Jusque là je crois que tout va bien mais j'ai commencé à remplacer les n par 0, 1, 2, 3, 4, 5,... et je remarque que ça revient au même que A_n+1. Déjà, ai-je bien fait et aussi est-ce normal d'avoir cela ?                

A_n+1=4ⁿ⁺¹+1=4ⁿ×4+1...
                                    

Non, tu fais l'hypothèse qu'il existe tel que soit divisible par . Tu démontres qu'alors est aussi divisible par .

Effectivement, il faut commencer par écrire que

Franchement je ne sais pas comment faire avec
4ⁿ×4+1=3k

On suppose qu'il existe tel que soit divisible par

C'est donc qu'il existe entier tel que  , soit

Alors

salut

Ah d'accord, du coup, je continue :
         (3k-1)×4+1
<=>12k-4+1
<=>12k-3
<=>3(4k-1)
Grâce à vous je suis arrivé là mais je peux conclure avec cela ?

Ben oui, 3(4k-1) est bien un multiple de 3. La proposition est donc héréditaire.

Passe à la 2/

Bonjour carpediem

Bah je l'ai fait juste pour être sur.

Et pour la 2) vous m'avez dit de démontrer que pour tout n tout est faux.

Que dois-je faire ? Calculer les termes ?

Ok.

Pour la 2/, constate que pour n=0, 1, ... la proposition est fausse et montre qu'il n'existe aucune valeur de n susceptible de convenir.

Ok. Mais comment je fais pour affirmer que c'est faux pour tout avec juste ces quelques termes que j'ai calculé ?

En développant  selon la formule de Newton on voit de suite à quoi c'est congru modulo .

Bonjour à tous,

Citation :
2) L'affirmation A_n est-elle vraie pour tout n ?

Bonjour Sylvieg,

Tu as raison, j'avais zappé le "pour tout ".

Du coup j'ai dégoûté le pauvre Abde824 qui a pris la fuite.

Bonjour je suis désolé pour tout, mais je voulais savoir, je suis obligé d'utiliser la méthode Newton

Et le 3 était plutôt j'ai fait exactement comme le premier. J'ai fait l'initialisation et c'est vrai au rang n=0.
4⁰-1=1‐1=0 et 0 est multiple de 3, si je me trompe pas. Mais juste pour être encore plus sûr, j'ai fait n=1,2
4¹-1=4-1=3  
4²-1=16-1=15
Et tous les deux sont des multiples de 3.
Et je suis passé à l'hérédité en faisant exactement comme le premier.
Mais c'est la question 2, suis-je obligé de faire avec la méthode de Newton ?

Bonjour,
C'est quoi "la méthode de Newton" ?

La formule, pardon.

Avais-tu utilisé cette formule au 1) ?

Non, j'ai fait une démonstration par récurrence.

Tu fais de même.

Pour la 2/, regarde la remarque de Sylvieg hier à 10h16.
Comme la question est "A_n est-elle vraie pour tout n", il suffit d'exhiber (comme on dit) une valeur de n pour laquelle elle est fausse pour y répondre.

J'avais lu en diagonale.

Par contre on montre facilement (éventuellement par récurrence) que 4ⁿ+1 n'est jamais divisible par 3.

Je vous laisse.

Un contre exemple ?

Oui, une valeur de n pour laquelle c'est faux. Tu en as testé  3 , choisis-en une.

Ainsi comme il existe au moins une valeur de n pour laquelle A_n est fausse, elle ne peut être vraie pour tout n.

Ah d'accord, je comprends mieux du coup je prends des valeurs de n et je montre qu'avec ses valeurs A_n n'est pas vraie dans tout n .

Attention aux négations.
A_n n'est pas toujours vrai pour n dans .

Une valeur suffit :
Pour n = 1, on a 4¹+ 1 = 5.
5 n'est pas un multiple de 3 ; donc A₅ est faux.

Pour la récurrence de 3), ça va ?

Oui ça va bien c'était assez facile, j'ai fait à peu près la même que pour la question 1.

maintenant que c'est fini je reviens sur la récurrence : on peut se passer d'introduire un k


en posant on a :



or toute combinaison linéaire de multiples de 3 est multiple de 3 ...