Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Suite géométrique

Posté par
Samsco 14-07-20 à 23:37

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

u et v sont les suites numériques définies par :

U_1=12 \\ \forall n\geq 1~,~U_{n-1}=\dfrac{U_n+2V_n}{3} \\ \\ V_1=1 \\ \forall n \geq 1~,~V_{n-1}=\dfrac{U_n+3V_n}{4}

1.On pose W_n=V_n-U_n

Démontrer que la suite W de terme général Wn est géométrique et exprimer Wn en fonction de n.

2. Démontrer que la suite U est décroissante et que la suite V est croissante.

3. Démontrer que :

Pour tout nombre entier naturel n non nul , Un ≥ Vn et en déduire que : U1 ≥ Un ≥ Vn ≥ V1.

4. On pose : \forall n \geq 1 ,~T_n=3U_n+8V_n.

Démontrer que la suite T de terme général Tn est croissante.

Réponses :

1.

W_n=V_n-U_n \\ \\ =\dfrac{U_{n+1}+3V_{n+1}}{4}-\dfrac{U_{n+1}+2V_{n+1}}{3} \\ \\ =\dfrac{1}{2}(3U_{n+1}+9V_{n+1}-4U_{n+1}-8V_{n+1}}) \\ \\ W_n=\dfrac{1}{12}(V_{n+1}-U_{n+1}) \\ \\ W_n=\dfrac{1}{2}W_{n+1} \\ \\ \iff W_{n+1}=12W_n \\ \\ W_n=(12)^{n-1}W_1 \\ W_n=-11×12^{n-1} \\
Donc W est la suite géométrique de raison q=12

2. Je bloque ici

Posté par
Samscore : Suite géométrique 14-07-20 à 23:47

Samsco @ 14-07-2020 à 23:37


1.

W_n=V_n-U_n \\ \\ =\dfrac{U_{n+1}+3V_{n+1}}{4}-\dfrac{U_{n+1}+2V_{n+1}}{3} \\ \\ =\dfrac{1}{{\red{1}}2}(3U_{n+1}+9V_{n+1}-4U_{n+1}-8V_{n+1}}) \\ \\ W_n=\dfrac{1}{12}(V_{n+1}-U_{n+1}) \\ \\ W_n=\dfrac{1}{{\red{1}}2}W_{n+1} \\ \\ \iff W_{n+1}=12W_n \\ \\ W_n=(12)^{n-1}W_1 \\ W_n=-11×12^{n-1} \\
Donc W est la suite géométrique de raison q=12

2. Je bloque ici

Posté par Profil Ramanujanre : Suite géométrique 15-07-20 à 02:43

Bonsoir,
La suite (W_n) est négative...

Puis il suffit d'exprimer U_{n-1}-U_n.

Posté par
malou Webmasterre : Suite géométrique 15-07-20 à 08:02

Bonjour Samsco

tu es sûr de ton énoncé ?

Citation :
u et v sont les suites numériques définies par :

U_1=12 \\ \forall n\geq 1~,~U_{n-1}=\dfrac{U_n+2V_n}{3} \\ \\ V_1=1 \\ \forall n \geq 1~,~V_{n-1}=\dfrac{U_n+3V_n}{4}


ce ne serait pas plutôt U_{n+1} et V_{n+1}

et l'énoncé de la question 4 est à revoir aussi....c'est certainement pas ça qui est écrit

Posté par
Samscore : Suite géométrique 15-07-20 à 09:53

Ramanujan @ 15-07-2020 à 02:43

Bonsoir,
La suite (W_n) est négative...

Puis il suffit d'exprimer U_{n-1}-U_n.


W_n=-11×12^{n-1} \leq 0 \\ \\ \iff V_n-U_n \leq 0 \\ \\ \iff V_n \leq U_n

Ça ne permet pas de conclure .

malou @ 15-07-2020 à 08:02

Bonjour Samsco

tu es sûr de ton énoncé ?

ce ne serait pas plutôt U_{n+1}   et V_{n+1}

et l'énoncé de la question 4 est à revoir aussi....c'est certainement pas ça qui est écrit


Non ce n'est pas Vn+1 et Un+1 , C'est Vn-1 et Un-1

Posté par
malou Webmasterre : Suite géométrique 15-07-20 à 10:22

personnellement je n'y crois pas
on ne définit pas une suite à partir des suivants ...
et même, alors on inverse immédiatement les données...et sauf erreur de ma part, on ne trouve pas alors ce qui est attendu dans le questionnement...(ni pour les variations des suites, ni pour l'histoire de la question 4)
.....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite géométrique 15-07-20 à 11:14

Bonjour,
Je confirme l'erreur d'énoncé.
En remplaçant n par 2 dans l'énoncé avec du n-1 :
12 = (u2+2v2)/3
1 = (u2+3v2)/4
On trouve v2 = -32 et u2 = 100.
Contredit la question 2.

Posté par
malou Webmasterre : Suite géométrique 15-07-20 à 11:54

Merci Sylvieg, j'avais la même chose

Posté par
Samscore : Suite géométrique 15-07-20 à 15:44

Ah d'accord , sinon l'erreur vient de l'énoncé ( bizarre que  mon livre présente trop d'erreurs au niveau de ce chapitre).

Bon je rectifie :

W_n=V_n-U_n \\ \\ W_{n+1}=V_n-U_n \\ \\ W_{n+1}=\dfrac{1}{12}(V_n-U_n) \\ \\ W_{n+1}=\dfrac{1}{12}W_n \\ \\ W_n=-11*\dfrac{1}{12^{n-1}} \\
Wn est la suite géométrique de raison q=11/2 et de premier terme -11.

2.

W_n=-11*\dfrac{1}{2^{n-1}} \leq 0 \\ \\ \iff V_n-U_n \leq 0 \\ \\ \iff V_n \leq U_n

Est ce que ceci me permet de tirer une conclusion sur les sens de variations de (Un) et (Vn)

Posté par
malou Webmasterre : Suite géométrique 15-07-20 à 16:32

non, cela va te servir à la question suivante

mais les sens de variation de (Un) et de (Vn) tu les étudies directement en étudiant le signe de deux termes consécutifs de chacune par exemple

Posté par
Glapion Moderateurre : Suite géométrique 16-07-20 à 11:31

Citation :
Wn est la suite géométrique de raison q=11/2 et de premier terme -11.


non, si Wn+1 = Wn/12 c'est que q = 1/12

Posté par
Samscore : Suite géométrique 20-07-20 à 10:04

Oui faute de frappe ,

On a :

U_{n+1}-U_n=\dfrac{U_n+2V_n}{3}-U_n \\ \\ =\dfrac{2V_n-2U_n}{3} \\ \\ U_{n+1}-U_n=\dfrac{2}{3}W_n \\ \\ \forall n\geq 1~,~n-1 \geq 0 \\ \\ \iff 12^{n-1} \geq 0 \\ \\ \iff W_n \leq 0 \\ \\ \iff U_{n+1}-U_n \leq 0 \\ \\ \iff U_{n+1} \leq U_n

Posté par
Glapion Moderateurre : Suite géométrique 20-07-20 à 11:07

tu as écris 12^{n-1} \geq 0 mais attention maintenant Wn c'est W_n=-11*\dfrac{1}{12^{n-1}} mais ok c'est négatif (tu peux directement l'écrire) que ce qui montre bien que Un est décroissant.

Posté par
carpediemre : Suite géométrique 20-07-20 à 13:24

salut

c'est dommage de poser le pb ainsi :

avec la question 1/ ... en question 1/ la question 3/ est alors triviale et donne immédiatement la réponse à la question 2/ ...

Posté par
Samscore : Suite géométrique 20-07-20 à 15:17

carpediem @ 20-07-2020 à 13:24

salut

c'est dommage de poser le pb ainsi :

avec la question 1/ ... en question 1/ la question 3/ est alors triviale et donne immédiatement la réponse à la question 2/ ...


J'ai rien compris à ce que vous voulez dire.

Posté par
Samscore : Suite géométrique 20-07-20 à 15:42

Glapion @ 20-07-2020 à 11:07

tu as écris  12^{n-1} \geq 0 mais attention maintenant Wn c'est W_n=-11*\dfrac{1}{12^{n-1}} mais ok c'est négatif (tu peux directement l'écrire) que  ce qui montre bien que Un est décroissant.


Oui j'ai pas voulu créer trop de ligne.
n ≥ 1
n-1 ≥ 0
12n-1 ≥ 0
1/12n-1 ≥ 0
-11×12n-1 ≤ 0
Wn ≤ 0

Posté par
carpediemre : Suite géométrique 20-07-20 à 16:51

la résolution du pb dans l'ordre 1  3  2 est immédiate ...

Posté par
Samscore : Suite géométrique 22-07-20 à 15:02

Ah , vu que notre cas est différent , nous somme obligés de faire avec.

Vn+1-Vn=(Un-Vn/4=(-1/4)Wn=(-1/4)Wn

Vn+1 ≥ Vn
Donc la suite (Vn) est croissante et Vn ≥ V1

(Un) est décroissante donc Un ≤ U1

De plus Vn ≤ Un ( déjà démontré le 15/07/20 à 09h 53

En conclusion :  U1 ≥ Un ≥ Vn ≥ V1

Posté par
Samscore : Suite géométrique 22-07-20 à 15:03

Comment je fais pour la 4/ ?

Posté par
carpediemre : Suite géométrique 22-07-20 à 15:15

calcule t_{n + 1} - t_n et utilise les questions précédentes ...

Posté par
Samscore : Suite géométrique 26-07-20 à 16:07

T_{n+1}-T_n=3U_{n+1}+8V_{n+1} \\ \\ =3\left(\dfrac{U_n+2V_n}{3}\right)+8\left(\dfrac{U_n+3V_n}{4}\right) \\ \\ =U_n+2V_n+2U_n+6V_n \\ \\ T_{n+1}-T_n=3U_n+8V_n

Un est décroissante et Vn est croissante , qu'est ce que je peux conclure pour Tn?

Posté par
Samscore : Suite géométrique 26-07-20 à 16:12

Oups , j'ai oublié Tn

T_{n+1}-T_n=3U_{n+1}+8V_{n+1}-3U_n-8V_n \\ \\ =3\left(\dfrac{U_n+2V_n}{3}\right)+8\left(\dfrac{U_n+3V_n}{4}\right)-3U_n-8V_n \\ \\ =U_n+2V_n+2U_n+6V_n-3U_n-8V_n \\ \\ T_{n+1}-T_n=0 \\ \\ T_{n+1}=T_n

Donc donc Tn est constante


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !